文档介绍：2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答
一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10小题每题10分,共90分)
1、对于任意实数a,b,定义,a∗b=a(a+b) +b, 已知a∗=,则实数a的值是。
【答案】4,
2、在三角形ABC中,,其中a,b是大于1的整数,则b-a= 。
【答案】0
3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能是。
【答案】50,94
4、已知关于x的方程有实根,并且所有实根的乘积为−2,则所有实根的平方和为。
【答案】5
5、如图,直角三角形ABC中, AC=1,BC=2,P为斜边AB上一动点。PE⊥BC,PF⊥CA,则线段EF长的最小值为。
【答案】
6、设a,b是方程的两个根,c,d是方程的两个根,则(a+ c)( b + c)( a − d)( b − d)的值。
【答案】2772
7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2),函数y=kx−1 的图像与线段PQ 延长线相交(交点不包括Q),则实数k的取值范围是。
【答案】
8方程xyz=2009的所有整数解有组。
【答案】72
9如图,四边形ABCD中AB=BC=CD,∠ABC=78°,∠BCD=162°。设AD,BC延长线交于E ,则∠AEB= 。
【答案】21°

10、如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠BCD= 90°,AB=BC=10,点M在BC上,使得ΔADM是正三角形,则ΔABM与ΔDCM的面积和是。
【答案】
二、(本题15分)如图,ΔABC 中∠ACB =90°,点D在CA上,使得CD=1, AD=3,并且∠BDC=3∠BAC,求BC的长。
解:设BC=x,则,
,如图,作∠ABD平分线BE,则,因此。
由角平分线定理可知。
因此,解得
三、(本题15分)求所有满足下列条件的四位数,其中数字c可以是0。
解:设,,则,故有整数解,由于10< x < 100,故y≠0。因此是完全平方数,
可设,故,0≤50- t<50+ t之和为100,而且其中有11的倍数,只能有50−t= 1或50−t=45,相应得到y=1,25,代入解得因此。
四、(本题15分)正整数n满足以下条件:任意n个大于1且