文档介绍：第十四章
第三节
一、梯度
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二、散度
三、旋度
场论初步
一、梯度
方向导数公式
令向量
这说明
方向:f 变化率最大的方向
模: f 的最大变化率之值
方向导数取最大值:
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1. 定义
即
同样可定义二元函数
称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度
记作
(gradient),
在点
处的梯度
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说明:
函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
向量
2. 梯度的几何意义
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
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称为函数 f 的等值线.
则L*上点P 处的法向量为
同样, 对应函数
有等值面(等量面)
当各偏导数不同时为零时,
其上
点P处的法向量为
指向函数增大的方向.
3. 梯度的基本运算公式
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例1.
证:
试证
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处矢径 r 的模,
4、物理意义
函数
(物理量的分布)
数量场(数性函数)
场
向量场(矢性函数)
可微函数
梯度场
( 势)
如: 温度场, 电位场等
如: 力场,速度场等
(向量场)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
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例2.
已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
试证
证: 利用例4的结果
这说明场强:
处所产生的电位为
垂直于等位面,
且指向电位减少的方向.
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二、流量与散度
引例.
设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,
速度场为
理意义可知,
设为场中任一有向曲面,
单位时间通过曲面的流量为
则由对坐标的曲面积分的物
由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
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若为方向向外的闭曲面,
当> 0 时,
说明流入的流体质量少于
当< 0 时,
说明流入的流体质量多于流出的,
则单位时间通过的流量为
当= 0 时,
说明流入与流出的流体质量相等.
流出的,
表明内有泉;
表明
内有洞;
根据高斯公式, 流量也可表为
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③