文档介绍：四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
A的模糊熵E(A),在单位超立方体In中从0到1,其中顶点的熵为0,表明不模糊,中点的熵为1,是最大熵。从顶点到中点,熵逐渐增大。简单地从几何图形上来考虑可以得到熵的比例形式:
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熵是一个一般性的概念,它度量了一个系统或一段信息的不确定性。
模糊熵描述了一个模糊集的模糊性程度。
一般的定义[1]:
(1)分明集是不模糊的,则分明集的模糊熵为0;
(2)[1/2]是隶属性最难确认的模糊集,[1/2]的模糊性应最大
(3)模糊集A与距[1/2]的1远近程度是相同的,则要求A与的模糊程度一样
(4)模糊集A的模糊性应具有单调变化的性质,即A越接近[1/2],A的模糊性越大; A越远离[1/2],A的模糊性越小。
四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
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模糊熵定理:
模糊熵定理的几何图示。由对称性,完整模糊方形的四个点到各自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西方逻辑”的终止。( )
四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
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k>0是常数
很多文章是用这个定义来求模糊熵
另外的一种定义(类似于信息论中熵的定义)
四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
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五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
主导隶属度函数关系(dominated membership function relationship):
如果A=(.3 0 .7)和B=(.4 .7 .9),那么A就是B的一个模糊子集,但B不是A的模糊子集。显然,这种模糊包含度是非模糊的,它是非黑即白的,是二值定义下的子集性(Zadeh’s1965)。
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B的所有模糊子集构成集合——模糊幂集F(2B),它构成了在单位超立方体中倚着原点的规则的超长方形,其边宽等于各隶属度值mB(xi) 。可以用Lebesgue测度或体积V(B)来度量F(2B)的大小,其中,体积V(B)为隶属度值的乘积:
五、模糊集合间的包含关系——包含度定理

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:
,点A可以是长方形内的点,也可以不是。在长方形F(2B)外不同的点A是B的不同程度的子集。而上述二值定义下的子集性忽略了这一点。考虑到集合A属于F(2B)的不同程度,通过抽象隶属度函数来定义包含度:
S(.,.)在[0,1]之间取值,其代表了多值的子集测度(包含度),是模糊理论中的基本的、标准的结构。
五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
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度量S(.,.)的两种方法:
(1)代数方法: 即失配法(fit-violation strategy)
假定X包含有100个元素:X={x1,…,x100}。而只有第一个元素违背了主导隶属度函数关系,使得mA(x1)>mB(x1)。直观上,我们认为A很大程度上是B的子集。可以估算,子集性为S(A,B)=,并且,如果X包括1兆个元素,A几乎完全是B的子集了。可见失配的幅度mA(x1)-mB(x1)越大,失配的数目相对于模糊集A的大小越多,那么A就越不能算是B的子集,或者说,A就越象是B的超集。直观上有:
五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
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失配数的计算: max(0,mA(x)-mB(x))归一化之后得到超集的最小度量:
包含度为:
五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
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这种包含度满足主导隶属度函数关系,当时,S(A,B)=1。如果S(A,B)=1,则分子被加数应都为0,因此主导隶属度函数关系都满足。