有限元课件-第4讲 等参元和高斯积分.ppt

文档介绍：第4讲等参单元和数值积分
金朝海
******@vip.
北京航空航天大学
实际问题常常需要使用一些几何形状不太规整的单元来逼近原问题。直接研究这些不规整单元的表达式比较困难(在总体坐标系下构造位移插值函数,则计算形状函数矩阵、单元刚度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁)。事实上,形状不规整的单元和形状规整的单元(矩形单元、正六面体单元)可以建立一种映射关系,使得物理坐标系中的整体坐标和自然坐标系中的局部坐标一一对应。
等参单元的提出为有限元法成为现代工程实际领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的一步。
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等参单元
简单杆系问题分析的新途径
等参单元定义的给出
平面问题四边形等参单元计算公式
三维问题六面体等参单元计算公式
采用等参单元的优点
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简单杆系问题分析之新途径
途经1:在整体直角坐标系下进行单元分析(参看第3讲内容)
途径2:建立局部自然坐标系进行单元分析
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直角坐标系( x , y , z)
极坐标(r,) ,2维
球坐标系(r,θ, )
柱坐标系(, , z)
自然坐标系
关于坐标系
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自然坐标系:
选轨迹上任一点O为原点
用轨迹长度S 描写质点位置
O
m
S
质点沿切线前进方向的单位矢量为
切向单位矢量(tangential unit vector)
质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的
单位矢量为法向单位矢量(normal unit vector)
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当点的运动轨迹已知时,通常采用自然法确定点的运动规律、速度、加速度。
在自然坐标系中表示质点速度,是非常简单的,因为无论质点处在什么位置上速度都只有切向分量,而没有法向分量。
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新途径:建立局部自然坐标系进行单元分析
坐标插值函数:
局部自然坐标和整体直角坐标可以建立一种映射关系
节点条件:
xi
xj
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单元内坐标由节点坐标插值表示
局部坐标到物理坐标的变换
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单元位移函数:
节点条件:
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