文档介绍：:..二次根式思维误区诊断二次根式是初屮代数屮较为重要的一章。该章定义、性质的附加条件较多,迷惑性较强,解题时,如果审题不严谨,思维不缜密,隐含条件挖掘不充分,常常进入思维误区,甚至会出现错误的解答。下面就二次根式常见思维误区略举几例,以供参考。一、忽视二次根式定义满足的条件例1,下列各式哪些是二次根式?哪些不是?①V2②-\l~ci③J-/-1 ④Jx?+1 ⑤Ja—2 ⑥V64错解:因为①■■⑤都带有根号,所以都是二次根式,V64=8,它不是二次根式。错因:若式子需是二次根式,只有在(C0的条件下才叫二次根式,同时g可以是有理数或有理式,也可以是无理数或无理式,因此符合条件的二次根式有①、④、⑥。正解:上面各式屮是二次根式的有①、④、⑥,不是二次根式的有②、③、⑤。二、扩大字母的取值范围例宀为何值吋,吿在实数范围内有意义?错解:由x+2>0,得丘2•:当兀72时,密有意乂错因:上面解答屮,仅考虑使巨有意义,而忽视了原式中分母必须不为o,扩大了字母的取值范围,因此得出的结论是错误的。正解:由题意知,%应满足条件:rx+2>0解之,得Cx>-2 ・•・当丘・2且好±1时,原式有意义。I卜|一1工0 I甜1三、因式分解不彻底例3,在实数范围内分解因式:#12/于+35『错解:/-12?/+35/=(/-5y2)(x2-7/)错因:在实数范围内分解因式,一定要注意系数可以出现无理数,分解一定要彻底。正解:x-12x2y2+35>,4=(x2-5y2)(x2-7y2)=(x+V5y)(x~J~5y)(兀+四、忽视二次根式性质中字母应满足的条件例4,将下列各数写成(需)2(心0)的形式(1)-5 (2)x(兀为任意实数)错解:(1)-5=J(-5)2=(口)2 (2)x=(Vx)2错因:根据二次根式定义,(J7)2=d(血0),反过来,将a=(y/a)2(a>0),可以将一个非负数写成一个数的平方的形式,而错解(1)、(2)中,都是因为没有考虑“非负数”这个条件而11!现了错解。正解:(1)一5=—(V5)2 (2)r(Vx)2 (x>0)J(4~^x)2(xvO)例5:计算(yjx-y)?+J(y_x)2错解:原式=十丿+〉7=0错因:由Jx-y有意义,可知x-y>0,则那么J(y-A:)'=戸就不对。正解:Tyjx-y有意义,・:x-y>0 ,y-x<0.°・原式三巧+少韵三巧七“勺⑹歹五、忽视二次根式化简中的隐含条件例6,把(巧)J-一 根号外的因式移到根号内并化简。V兀_歹错解:(x-y) =(x-y)2( )=Qy-xv%-yv—y错因:本题忽视了题中二次根式J-—有意义,隐含了条件的条件,因此根v号外因式把根号外因式移到根号内吋,必须将“』号留在根号外,把正的因式平方后移到根号内。正解:由」一一有意义,得■— >0,即心<0\x-y x-y・•・原式二(y '—=-J(y-x)2x( )=-y/y-xV兀一y V 兀-y例7,把;一〉厂分母有理化。Qx+Qy错解:存y呼沙LA一佔_g長祐Vx+JyQx+Jy)(Jx-Jy) x_y错因:本题并不知道頁-"是否为0,将頁-"盲目进行分母有理化是行不通的。正确的途径应将分子先分解因式,然后进行约分。止解:—y_(低+J7)(仮一")_Q匚六、。例8,已知兀+)=・3,兀・y=2,求错解:・・•对尸・3/尸2,原式—芈+芈 )2二辛茎竿=— y/y^x yjxyJ22错因:・・・汁2>o,显然不可能为一个负数,错误在于没有注意到这里兀、y都小于0,那么y不成立。冷X正解:Tx+)二3,xy=2,-x•••原式=-y+J-y_(V^)2+(J-y)~__(x+y)_2^2兀ypy T^y 。例9,如杲最简二次根式2珂3x一2y-8与Jx-y-1是同类二次根式,求兀+),的值。错解:由2x-2=2,3x-2y-S=x-y-],得x=2,y=-3f于是x+y=-\错因:事实上,当尸2,〉二3时,空•珂3x_2y_8祐,J—y_l=丽,他们并不是最简二次根式,也不满足同类二次根式满足的条件,故不存在满足条件的兀、y的值,因而无从求出兀+y的值°正解:由2x-2=2,3x-2y-8=x-y-l,得x=2,y=-3o当x=2,y=・3时,2x~^3x—2y—S-V4,Jx_y_l=a/4,他们不是最简二次根式,故不存在满足条件的x、y的值,即x+y的值也不存在。八、 忽视求得字母的值要检验例10,最简二次根式+3与—3是同类二次根式,则。= 。错解:由/+3=5/3,得°=2或a=3错因:上面解答只运用同类二次根式的定义