文档介绍：:..第八章因子分析§《对智力测验得分进行统计分析》视为因子分析的起点。因子分析的形成和发展有相当长的历史,故早用以研究解决心理学和教育学方而的问题,由于计算量大,乂缺少高速计算的设备使因子分析的应川和发展受到很人的限制,甚至停滞了很长时间。后来由于电子计算机的出现,才使因子分析的理论研究和计算问题,有了很大的进展。1=1前这一方法的应用范围已十分广泛,在经济学、社会学、考古学、生物学、医学、地质学以及体育科学等各个领域都取得了显著的成绩。1什么是因子分析因子分析是主成分分析的推广和发展,它也是将具有错综复杂关系的变量(或样品)综合为数最较少的儿个因子,以再现原始变量与因子之间的相互关系,同时根据不同因子还可以对变量进行分类,它也是属于多元分析中处理降维的一种统计方法。例如,某公司对100名招聘人员的知识和能力进行测试,出了50道题的试卷,其内容包括的而较广,但总的來讲町归纳为六个方面:语言衣达能力、逻辑思维能力、判断事物的敏捷和果断程度、思想修养、兴趣爱好、牛活常识等,我们将毎一个方血称为因子,显然这里所说的因子不同于冋归分析中因素,因为前者是比较抽象的一种概念,而后者有着极为明确的实际意义,如人口密度、工业总产值、产量等。假设100人测试的分数{X,.,z=l,---,100}町以用上述六个因子表示成线性函数:X:=F]+。,2的+…+di6尸6+5 i=1,…,100其中片,…,尸6表示六个因子,它对所有乙是共有的因子,通常称为公共因子,它们的系数61订,…%称为因子载荷,它表示第,个应试人员在六个因子方而的能力。巧是第i个应试人的能力和知识不能被前六个因子包括•的部分,称为特殊因子,通常假定耳〜N(0,b:),仔细观察这个模型与冋归模型在形式上有些相似,实质很不同。这里的片,…,几的值木知的,并且有关参数的统计意义更不一样。因子分析的任务,首先是佔计LU\a(j}和方差&:},然后将这些抽彖因子{片}赋予有实际背景和因子Z间的相互关系,以达到降维和对原始变量进行分类的目的。因子分析的内容十分丰富,本章仅介绍因子分析常用的两种类型:R型因子分析(对变量作因子分析)和Q型因子分析(对样品作因子分析)。2基本思想因子分析的基本思想是通过变暈(或样品)的相关系数矩阵(对样品是相似系数矩阵)内部结构的研究,找出能控制所有变量(或样品)的少数儿个随机变量去描述多个变量(或样品)之间的相关(相似)关系,但在这里,这少数儿个随机变量是不可观测的,通常称为因子。然后根据相关性(或相似性)的大小把变星(或样品)分组,使得同组内的变暈(或样品)Z间相关性(或相似性)较高,但不同组的变呈相关性(或相似性)较低。从全部计算过程來看作R型因子分析与作Q型因子分析都是一样的,只不过出发点不同,R型从相关系数矩阵出发,0型从相似系数阵出发都是对同一批观测数据,可以根据英所要求的ri的决定哪一类型的因子分析。§&2因子分析的数学模型1数学模型(正交因子模型)R型因子分析数学模型X|=G|]F]+«12F2+•••+%©+£]X2—a2\^1+d22尸2■■■XP=ap\F\+%尸2+…+apmFm+勺用矩阵表示:X]X2■•■—^11a2\■•■a\2 *a22 *■■■XpaP2•简记为X=AF+£(pxl)(pxm)(/nxl)(pxl)11满足:1)m<pii)Cov(F^)=0即F和w是不相关的;11iii)D(F)=0即不相关且方差皆为1。10即斫,…,勺,不相关,冃方差不同。其中X=(X”・・XJ是可实测的卩个指标所构成P维随机向量,F=(许,…,®)'是不可观测的向量,F称为X的公共因了•或潜因子,即前面所说的综合变量,可以把它们理解为在高维空间屮的互相垂宜的m个坐标轴;旬称为因了载荷是第i个变量在第/个公共因了上的负荷,如果把变量X,看成m维因子空间中的一个向量,则切表示乙在处标轴竹上的投影,矩阵4称为因子载荷矩阵;£称为X的特殊因子,通常理论上要求£的协方差阵是对角阵,£中包括了随机误差。由上述模型满足的条件可知:片也,…,®是不相关的。若耳』2,…,®相关时,则D(F)就不是対角阵,这时的模型称为斜交因子模型,本章将不讨论这种模型。类似地,。型凶子分析数学模型为:X]=d]]F]+0]2尸2H +£\X?=也百+。22佗+…+如“仏+匂■■Xn=an\F\+①弄+•••+%几+£”此时Xi,X2,…,Xn表示八个样品。因子分析的目的就是通过模型X=4F+£代替X,由从而达到简化变量维数的愿望。因子分析和主成分分析有很多相似之处,在求解过程中二者都是从一个协