文档介绍：(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点,直线y=x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,:本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法,设计新颖,基础性强,属★★★★★:待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题,::本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程,,:由e=,得,从而a2=2b2,c=+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,(x12-x22)+2(y12-y22)=0,设AB中点为(x0,y0),则kAB=-,又(x0,y0)在直线y=x上,y0=x0,于是-=-1,kAB=-1,设l的方程为y=-x+(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),由点(1,1-b)在椭圆上,得1+2(1-b)2=2b2,b2=.∴所求椭圆C的方程为=1,l的方程为y=-x+:由e=,从而a2=2b2,c=+2y2=2b2,l的方程为y=k(x-1),将l的方程代入C的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-.直线l:y=x过AB的中点(),则,解得k=0,或k=-=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身,不能在椭圆C上,所以k=0舍去,从而k=-1,直线l的方程为y=-(x-1),即y=-x+1,.(★★★★★)已知圆C1的方程为(x-2)2+(y-1)2=,椭圆C2的方程为=1(a>b>0),C2的离心率为,如果C1与C2相交于A、B两点,且线段AB恰为圆C1的直径,:由e=,可设椭圆方程为=1,又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,又=1,两式相减,得=0,即(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)==-1,故直线AB的方程为y=-x+3,代入椭圆方程得3x2-12x+18-2b2==24b2-72>0,又|AB|=,得,解得b2==1.(2006年江西卷)如图,椭圆Q:(a>b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点求点P的轨迹H的方程在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q£),确定q的值,使原点距椭圆的右准线l最远,此时,设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?解:如图,(1)设椭圆Q:(a>b>0)上的点A(x1,y1)、B(x2,y2),又设P点坐标为P(x,y),则1°当AB不垂直x轴时,x1¹x2,由(1)-(2)得b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0 \b2x2+a2y2-b2cx=0…………(3)2°当AB垂直于x轴时,点P即为点F,满足方程(3)故所求点P的轨迹方程为:b2x2+a2y2-b2cx=0(2)因为,椭圆 Q右准线l方程是x=,原点距l的距离为,由于c2=a2-b2,a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q£)则==2sin(+)当q=时,上式达到最大值。此时a2=2,b2=1,c=1,D(2,0),|DF|=1设椭圆Q:上的点A(x1,y1)、B(x2,y2),三角形ABD的面积S=|y1|+|y2|=|y1-y2|设直线m的方程为x=ky+1,代入中,得(2+k2)y2+2ky-1=0由韦达定理得y1+y2=,y1y2=,4S2=(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=令t=k2+1³1,得4S2=,当t=1,k=0时取等号。因此,当直线m绕点F转到垂直x轴位置时,三角形ABD的面积最大。(2006年湖南卷)已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;(Ⅱ)是否存在、的值,使抛物线C2的焦点恰在直线AB上?若存在,求出符合条件的、的值;若不存在,.(Ⅰ)=0,;(Ⅱ),或,。解(Ⅰ)当AB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称,所以m=0,直线