文档介绍：: .
x轴上且离心率为
点差法
(1 , 0)的直线I与中心在原点，焦点在
椭圆C相交于A、B两点，直线y=*x过线段AB的中点，同时椭圆C
上存在一点与右焦点关于直线I对称，试求直线I与椭圆C的方程.
命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目
知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.
错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.
技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将
A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线 AB斜率的
等式•解法二，用韦达定理.
解法一：由e=d二,得兰戈从而a2=2b2,c=b.
a 2 a2 2
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(Xi,yi),B(X2,y2)在椭圆上.
贝S Xi2+2y/=2b2,X22+2y22=2b2,两式相减得，(捲2 - X22)+2(y/ -
y22)=0,
yi ~ y2
X1 - X2
Xi X2
2( yi y2)
2yo
设AB中点为(x°,yo),则kAB= —,又(x°,yo)在直线y=f x上，y°=寸Xo,
于是—
xo
2yo
—1Kab= — 1,设 l 的方程为 y= — x+1.
右焦点(b,0)关于I的对称点设为(x‘，y‘),
xr=1
y=1 _b
1
x"-b 解得』
y" x"+b
—=- +1
2 2
由点(1,1 — b)在椭圆上，得 1+2(1 — b)2=2b2,b2二;9,a2 諾.
16 8
2
•••所求椭圆C的方程为竺连y2 =1,l的方程为y= — x+1.
9 9
— 2 2
解法二：由 e=d二,得T 1从而 a2=2b2,c=b.
a 2 a 2
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x— 1),
将I的方程代入 C的方程，得(1+2k2)x2— 4k2x+2k2— 2b2=0,则
2
x1+x2= 4k 2 ,y1+y2=k(x1— 1)+k(x2— 1)=k(x1+x2) — 2k=— 2k 2
1 2k2 1 2k2
2
直线I: y=1x过AB的中点(宁,里尹)，则普冷•备,解得
k=0,或 k= — 1.
若k=0，则I的方程为y=0,焦点F(c,O)关于直线I的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k= — 1,直线I的方
程为y= — (x— 1),即y= — x+1,以下同解法
2.(★★★★★)已知圆C1的方程为(x — 2)2+(y
2 2
T)2二手,椭圆C2的方程为笃 Z=1(a>b>0),
3 a b
C2的离心率为子，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程.
解：由夕¥可设椭圆方程为弟&1,
又设 A(xi,yj、B(X2,y2),则 Xi+X2=4,yi+y2=2,
2
X2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
又翦計詁活=1,两式相减，得r 分=0,
即(Xi+X2)(Xi - X2)+2(yi+y2)(yi - y2)=0.
化简得Xi y2 = -1,故直线AB的方程为y= — X+3, Xr _x2
代入椭圆方程得3x2— 12X+18 — 2b2=0.
有 A=24b2 — 72>0,又|AB|= .. 2 . (x_x2)^4x1x2
得"严9-72=冒，解得b2=8.
2 2
故所求椭圆方程为1 丄=1.
16 8
2 2 2 椭圆彩卡小b 0的离心率-3
A B是椭圆上关于坐标不对称的
两点，线段AB的中垂线与x轴交于点(1 0)
(1设AB中点为C(x0, y0),求沧的值。
⑵若F是椭圆的右焦点，且AF|：|BF =3,求椭圆的方程
(1)令 A (X1， yd、B (X2，y2)
则 x1 x2 =2x0，y1 - y2 =2y0
y1 72 1 -xo
X1 -X2 yo
2 2 2
2 一 c 2 一 a—b 4 一 b 5
i 由 ■ ■ ■ ■
3 a 3 a2 9 a2 9
2 2
又A、B在椭圆务•与=1上
a2 b2
.2 2 2 2 2-2
b xi +a yi =a b I