文档介绍：第卷第期经济数学
年月
一个对偶问题与对偶性质‘
李师正李善海于晓明
山东师范大学数学系,济南,
摘要本文对非可徽凸规划问题建立了一个新的对偶问题,并证明其对偶性质,如弱对偶性,强对偶性及逆
对偶性
关键词对偶问题,弱片偶性,强对偶性,逆对偶性,鞍点准则
学科分类号
引言
用男”表示维欧氏空间,按惯例,记
镇卢拼,镇‘, ,,⋯,
召拱刀且至少有一个,‘认
其中,,⋯,。犷,月,⋯,。’又用男斗表示坐标非负的维向量锥考虑一个含等式
约束的标准非可微凸规划问题
,,⋯,。镇,
,,⋯,,任厌湘,
和各,为卯上的凸函数,,为烫”上的仿射函数,即气叮十,,其中,任卿,,
⋯,,设为凸集
对于问题尸有熟知的对偶问题
夕,任劣竿,任劣丢,
“,刀
其中夕,,二人任〔,〕
对于问题尸和有弱对偶性成立,即对于尸和的可行解和,,有》夕
,在适当的约束规格下,强对偶性成立,即和最优值相等,或尸二此
外,如有限,则可达到,设为‘,动,这时如在王达到,则“‘见〔〕
此外,阁及作者也给出了不同的对偶形式〔‘一,本文给出问题的一
个新的对偶问题,并给出弱对偶性、强对偶性及逆对偶性
对偶问题
对于问题,引人以下集合与函数
,任男胡厌盛存在任,使
收稿日期一一
第期李师正李善海于晓明一个对偶问题与对偶性质
镇夕,,
, 任簇,,, 任,
男一,,,二任,
引理为凸集,为上的凸函数
证设,,,任挤任〔,〕,则有,,,使
‘簇少‘,‘‘, ,
由于的凸性和的仿射性,
七, 一几镇心一又
成砂十一穴少,
众一又今从一几
二肠一几
由于为凸集,赶一劝任,故
又勿, 一几夕,任,
为凸集,由及定义,
七十一几任。夕一几夕,七, 一几
因而,由的凸性,
以夕,, 一几夕,镇七, 一久
镇几一劝
固定,,,和。,,让二,分别取遍,,,和。,,则
。夕,, 一几夕,
镇只,任,,
一几任夕,
朋夕, 一几夕,,
即在上为凸函数,证毕
引理设王为尸的最优解,则,‘
设为尸的可行解,则,镇
证由定义得知,由于任,证毕
由尸为凸函数,定义在任意的。,。任处的次微分
护。,。,男男,任,
少一少。一。毛少,一勿。,。
下面引人本文给出的问题尸的对偶问题
,一一,〔,,任扩,
夕,￡,“,,
引理设,任,,任解,,则任厌竿
证取任意的任,,即蕊,二,,任男军,则镇,,显然
勿,互妙十夕,
因而,二二任,任,,,,,于是由,
犷少,,
,“了,一一
镇,,一,镇
由于任男竿的任意性,任一劣军证毕
经济数学第卷
对偶性质
定理弱对偶性设为的可行解,,,,,为,的可行解,则
夕,,,一不少一了,
证显然,任,又因为,任护,,故
,,一夕,
丁一。了’一,
好一“了一了
因而
,,,一石,一
,,一讨沙,一不
于是,我们有
,任,簇,
“镇
由引理,任厌泽,故好。而,“,所以
尸,一“一
,一了’,一
,一了’一丁
二,一,镇
证毕
推论如尸一,则无可行解,如,则尸无可行解
定