文档介绍：第卷第期经济数学
年月
封闭型保单组未来损失现值向量的
联合分布及渐近分布’
黄向阳
中国人民大学统计学院,北京,
摘要本文针对封闭型保单组,利用历年死亡人数随机向量,将保单组的未来给付现值随机变量
和未来损失现填随机变量表达为某个满秩矩阵和的乘积,根据服从多项分布的性质,得
到未来损失现值随机向量渐近服从多元正态分布的结果,为分析责任准备金提供了一个新的
框架
关键词封闭型保单组,多项分布,未来损失现值随机变量,渐近分布
封闭型保单组是研究保险产品风险和利润实现的基本单位死亡率作为决定保单组的基
本随机因素,一般表达为服从多项分布的历年死亡人数过去的研究方法在计算责任准备金的
时候,仅仅讨论个别未来损失现值随机变量的均值和方差,所得到的结果也很繁琐,其原因是
在不采用矩阵记号的情况下,各年的未来损失现值随机变量的协方差计算公式非常复杂,而使
用矩阵记号可以简化推导,并深化对封闭型保单组风险的认识
本文的研究对象为完全离散假设下的两全寿险封闭型保单组完全离散假设是在实际监
管和精算工作中常用的假设,是假定为在每个保单年度年初缴纳保费,在保单年度年末支付死
亡给付研究两全寿险保单的原因是,两全寿险保单实际上包括终身寿险保单,在寿险实务中,
终身寿险保单实际上就是保险期限很长的两全寿险,如果被保险人活过岁或者岁的
话,保险人会考虑给付保险金
符号的矩阵表示
记被保险人年龄为,保单组的初始规模为,,历年死亡人数随机向量为刀,,,⋯,
。‘,则一二,,即历年死亡人数服从多项分布,其中二,,二,⋯,。一,二‘,不妨简记
为。一二,,二,⋯,二,,,则一,二二,,,,,⋯,二,记。一石,汽,⋯,石,,。
川二,可不曹,⋯,川二瓦,则有的标准化向量
一一,,一,,
一一一一一一一二二二二尸一—,一一一一一一二二二二二一一一,⋯,一一一一一一二二二二二丁一一一
教育部人文社科资助项目编号
收稿日期一一
一一经济数学第卷
其矩阵形式为、人一·
引理任何满秩矩阵”又,,随机向量的渐近分布为多元正态分布,其均值向量为
向量,协方差阵为一巾创
引理是对中一个结果的简单改写
记评估利率为,贴现因子一‘,记短阵
刃
刀
︵
日刃一

显然是一个满秩的上三角矩阵
︵
未来给付现值随机变量的分布
按照匀惯上的记号参看仁」,第一。,,⋯,二一年末的未来给付现值随机变量为
尸庵一艺二·几,,这说明它可以表达成某两个向量的内积,即尸盛一。,。,⋯,二,,⋯,
盆亡
了二,、,,⋯,。一,‘,如果同时考察所有保险年度末的未来给付现值随机变量,应该可
以得到一个矩阵表示记尸。,,,⋯,,一‘,,,,‘,则有
所以对作标准化,有、一,人一
一由于是对角矩阵,所以有人,故人一最
后一个等号由矩阵乘法的结合律得到
根据引理,得到本文的一个基本结果
定理随机向量、的渐近分布为多元正态分布,其均值向量为向量,协方差阵为
一巾中‘侧
这样就得到了向量尸的标准化变换后结果的渐近分布
未来损失现值随机变量的分布
在计算责任准备金的时候,采用的记号是未来损失现值随机变量,即未来给付现值减去未
来保费收人现值,所以要