文档介绍：第卷第期经济数学
年月
线性空间中向量极值问题的最优性条件‘
詹茂紊李泽民黄永伟
重庆大学区应用科学与技术系,重庆,
摘要文【」建立了线性拓扑空间中向极值问题的广义一条件和乘子存在定理
本文将在线性空问中讨论这方面问题,首先在线性空间中建立了次似凸向值映射的择一定理,进而得出序
线性空间中向黄极值问题的最优性条件及其标黄化定理
关键词序线性空间,次似凸映射,择一定理,弱有效解,标贵化
引言
设是一个实线性空间,中含原点的凸锥称为正锥,记成具有正锥的线性空间称
为序线性空间,夕任,夕娜一夕任,毛夕娜夕
设是序线性空间,具有代数内部非空的正锥十,且并夕一夕任‘,其中
沐表示十的代数内部,夕拱夕用‘表示定义在上的所有线性泛函组成之集,称集
合‘‘任‘,‘,任为十的代数对偶锥,其中,’表示线性泛
函‘在点的值’
设是任一非空集合,是序线性空间,具有代数内部非空的正锥,
定义称为在上是次似凸的,如果日“任‘,,万任,几任〔,〕,。,日
任使
。解一又’一任
设,是序线性空间,分别具有代数内部非空的,十,则是序线性空间,具有正
锥又,且‘‘‘〔,〕,及’’’设尸‘沂
令
二‘,,任
若一又是次似凸的,则称映射对尸,尸是次似凸的
引理设,尸是次似凸的,。,。任,则尸。,尸。亦是次似凸的
引理〕设是一个实线性空间,具有代数内部非空的正锥十,若。’任‘,。‘并,
。任‘,则。,。‘
引理十‘是凸集骨在上是次似凸的
证“冷”设十‘是凸集,按规定,‘尹,所以三“任十‘对,丫任,几任。,
,。,我们有
‘收稿日期一一
第期詹茂豪李泽民黄永伟线性空间中向极值问题的最优性条件
‘解一又’又￡一又‘￡
因为。,’。任‘,
因而。妞一几’任‘
从而存在任使。十几一幻’一十所以在上是次似凸的
“。”设在上是次似凸的令‘下证是凸集
设‘,任,任,,则日,刁,,夕任‘,使
, 一一少一少
因是次似凸的,于是日“任十‘,对,丫任,又任,,。,日任使
。解一几‘一任
由于‘是凸锥,,,一任十‘,于是存在。。,使,一‘任十从而对这样的。。
及中的,,月。任使局“一一。任于是日歹任有
。凡一。一歹
由,得
, 一。歹夕一‘。一夕
任。十宕仁。‘仁
所以是凸集
择一定理
定理设是非空集合,是序线性空间,具有代数内部非空的正锥十,若是
次似凸的,则下面的①,②有且仅有一个成立
①日。任,使。
②日“任’,’并。使尸,’,任
证若①,②同时成立,由①,一。任十‘由②,‘任‘,‘并,从而由引理有
。,’这与②矛盾,故①,②不能同时成立
现在假设①不真,即无任使一任‘,即一十‘因十十‘‘,所
以,一一十‘二②令一一十‘,已一,则
门‘,’‘
由引理知‘是凸集,从而亦是凸集注意到,根据线性空间中的凸集分离定理,
日少’任’,夕‘并,使得
少,少’镇。镇夕‘,少‘,夕任,夕‘任
因此刁’任‘且对〔,任‘有一一刁‘,即
,夕‘,任,任‘
取。任‘,凡。且凡,则
凡,。,少‘,任,任
令便得,’,二
经济数学第卷
标量化
设是任一非空集合,,是序线性空间,分别具有代数内部非空的正锥,,
,考虑向量极