文档介绍：第卷第期经济数学
年月
线性空间中向量极值问题的鞍点
王其林‘。“李泽民
重庆交通学院数学系,重庆,重庆大学数理学院,重庆,
摘要首先在序线性空间中引入广义次似凸映射,建立其择一定理然后,在这种空间中定义向量
鞍点和向量一鞍点,我们讨论了其二者之间以及向量极值问题的弱有效解与他们的关系
关键词序线性空间,广义次似凸,择一定理,向量一鞍点,向量一鞍点
预备知识
鞍点理论具有非常广泛的应用,它与最优解有着非常密切的关系,受到许多学者关
注〔卜〕,取得了不少重要成果本文在序线性空间中引人广义次似凸映射,利用线性空间中的
凸集分离定理,获得了广义次似凸映射的择一性结果同时,在序线性空间中定义了向量
一鞍点和向量一鞍点的定义,讨论了它们与带广义不等式约束的向量最
优化问题的弱有效解之间的关系
设,是实线性空间,二,是中代数内部非空的正锥,笋,任介表示
、的代数内部,在中建立序关系全‘拱一‘任,三‘‘之岁‘一‘〔
,夕幼‘用‘表示的代数对偶,称车’任‘,,‘全。,任为正
锥的对偶锥,其中,‘表示线性泛函’在点的函数值
定义称映射在上是广义次似凸的,如果日〔年,,任,几〔〔,
,月〔日,使
翩十几卢,十一幻一厂矛,任十
引理」耳二年
引理川设’任二,‘半。,任气,则,“
引理如果映射在上是广义次似凸的,则集合导是凸的
证设,任扭任,〕,则丑全。,全。日,任日,任年使得
。, ,
于是
穴十一几触一义功尸砂, 一几少
令。几十一幻,由于年是凸锥,故
。任年
几一劝二触一又
收稿日期一一
一一经济数学第卷
若久一又,则易知又一又二,从而
枷一幻。任
若义一久共。,令肠一又从‘,则
又一又扭‘一几‘夕。
由在上是广义次似凸的,日任年,二,任,又任「,」,。,」任,日
,使
翩义一义一任
由于。年,则对于式中的方向,存在实数自使
。。任耳, 三。
特别地,有
。一凡产任耳
于是,对于,中的,,又‘,。。,日任,。,‘任,使得
。几, 一几‘一夕‘
即
久‘刃一又,。少‘一￡。
由,得几一劝如‘一‘由是凸锥,有勿‘任,从而,由
式及引理,有妙‘一触。任, 故
几一又任耳,
因此是凸集
择一定理
定理一型择一定理设是一非空集合,是序线性空间,具有代数
内部非空的正锥十,在上是广义次似凸的则下列,必有一个成立,但不能
同时成立
扫。,一。任耳
日少‘任早,少‘并,,,夕’全,任·
证若,同时成立,由知少’〔草,于是,由及引理得一。,夕‘
,即。,夕‘,此与矛盾,故,不能同时成立
假定不成立即无任,一。年,从而,对之,也无任,一。
任,即一军,于是,由引理得
一。耳⑦
令一耳,对‘一材,则
对了⑦,‘年
由题设及引理知,‘是凸集,从而, 是凸集,是凸集,耳笋⑦,并注意到式,利用线
性空间中的凸集分离定理,存在‘任‘,‘半及实数,使得
夕,夕‘镇三夕,,少’,夕任,夕‘任
第期王其林李泽民线性空间中向量极值问题的鞍点一一
设“,因是凸锥,故“‘,有‘任,于是,由,可得三‘‘,,”,即号二
妙‘,夕’,当时,三勿‘,少,· 由于任,从而,由可得勿,夕关三,少任于