文档介绍：第卷第期经济数学
年月
连续模型下衍生证券定价’
田剑波
清华大学应用数学系,北京,
郑琳
北京大学经济学院,北京,
摘要年一公式的出现极大推动衍生证券的发展,该公式的不足是假设影响标的资产价
格波动的扩散系数为常数年代后期的模型是针对该问题的离散统计模型本文在两者的基础上讨论
模型和一公式结合在讨论一般化衍生证券定价的基础上,通过模型的连续化,构造一个
维随机微分方程,最后讨论了一种可以接受的数值计算方法
关键词一公式,模型连续化,占介式,厚尾,波动聚类
引言
衍生证券是一类特殊的证券产品,例如,期货、远期合约、期权等,其
价值依赖于相应标的的价值,如交割价格为的欧式看涨期权在交割时刻的
价值,依赖于标的在时刻的价格凡·,一,衍生证券定价公式的确定,也
就依赖于标的价值的变化规律
在一开创性的论文中川,标的股票价值变化满足以下随机微分方程,
,· 产·。·‘其中,是时刻股票的价格,产、是常数,分别描述股票的增长趋势和
波动强度,,是标准运动
、利用无套利思想,构造如下偏微分方程确定衍生证券价值
澎
挤服
浇· 护· 三击入二二一
、‘汉入
,
其中是已知的函数,表示交割时刻,期权的价值,是股票在时刻的价格的
函数对交割价格是的欧式看涨期权,一,,方程的解,,是时刻
股票价格为‘时该期权的价格,称为一定价公式
虽然一公式在市场的实践中得到充分检验,但假定标的资产收益率的波动和
无风险利率是常数,与金融数据厚尾和波动聚类统计特征明
显区别对原始一公式的改进是一个引起广泛关注的问题, 首先提出无风
险利率肠满足另一个随机微分方程,和对。,是一个随机过程进行了某些初步讨
论
收稿日期一一
第期田剑波郑琳连续模型下衍生证券定价
在计量经济学领域, 年开创的模型,随后改进的模型,及以后的
模型对收益率波动的拟合非常成功,特别是模型,对参数估计无任
何约束的情况下满足厚尾和波动聚类的统计特征,但是这些模型都是离散模型,有文献尝试与
一公式产生联系,但是只是简单用离散模型产生,的估计,直接代人原始
公式川,其结果仍然承认二是正态分布,不具有波动聚类和厚尾的统计特征,背
离了、等模型的初衷
本文讨论模型与一公式的结合在第二部分说明适用于拼、是随机过程
的鞍定价方法第三部分说明模型的连续化第四部分利用随机微分方程的半群性给出近
似算法第五部分理论上给出了参数的极大似然估计
一般化的衍生证券定价
所谓一般化,是指标的资产价格变动满足的随机微分方程
, ‘· 产,· 氏· ,
其中产,、。,可以是常数、时间的函数或者其它的随机过程
风险中性利率
本文讨论的市场是一个完备的无套利市场闭,具有唯一无风险概率附录,即存在唯一
。,二,’,’是凡,的风险中性概率,满足
几,一‘’几‘’·田、,,田卜。
定理完备的无套利市场,无风险利率是,,。已知,则对任意。,的风险中
协
性概率分布与,,· ,·。‘·,在时刻的分布相同,称市场无风险利率乙为风险
中性利率
证明令随机变量是方程
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在时刻的解,由砧公式,
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