文档介绍：等差、等比数列的性质及应用————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 、等比数列的性质及应用一、基础知识(一)等差数列的性质(4)在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即an,an+m,an+2m,…,为等差数列,公差为md。(5)等差数列的前n项和也构成一个等差数列,即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…为等差数列,公差为n2d。(6)若等差数列的项数为2n,则有,(7)等差数列的项数为奇数2n-1,则,,。(8)通项公式是an=An+B是一次函数的形式;前n项和公式是不含常数项的二次函数的形式。(注当d=0时,Sn=na1,an=a1)(9)若a1>0,d<0,Sn有最大值,可由不等式组来确定n。若a1<0,d>0,Sn有最小值,可由不等式组来确定。(也可利用利用二次函数图象配方来解)等比数列的性质;.(4)在等比数列中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+m,an+2m,…,为等比数列,公比为qm。(5)等比数列的前n项和也构成一个等比数列,即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…为等比数列,公比为qn。(6)对于一个确定的等比数列,在通项公式中,an是n的函数,这个函数由正比例函数复合而成的。当当当q=1时,是一个常数数列当q<0时,无法判断数列的单调性,它是一个摆动数列。二、举例解析例1[P91考例1]、(1)设是等差数列,且,求及S15值。(2)等比数列中,,,前n项和Sn=126,求n和公比q。(3)等比数列中,q=2,S99=77,求a3+a6+…+a99;(4)项数为奇数的等差数列中,奇数项之和为80,偶数项之和为75,求此数列的中间项与项数。解:(1)由已知可得,所以=2,S15=,所以或又,所以或设等差数列共2n-1项,则,:(1)等比数列{an}中,已知S10=10,S20=30,求S30,(S30=70)例2、设等差数列的前n项之和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0,(1)求公差d的取值范围。(2)指出S1,S2,S3,…Sn中哪一个值最大,并说明理由。解:(1),,即,由,代入得:。(2)解一:由,可知:,所以S6最大。解二、,由可知,它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点,根据图象可知S6最大。解三、,由得又抛物线开口向下,所以S6最大。评注:求等差数列Sn最值有三法:借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。(经过原点)练习:已知等差数列{an}中,,问S1,S2,S3,…Sn中哪一个值最大。(S8或S9)例3(P93考例题4)设各项均为正数的数列和满足:成等比数列,成等差数列,且求通项解:成等比数列, ①又成等差数列②由②及③④将③④代入①=1时也成立,.{an}是等比数列,a1=2,a3=18,{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和Sn的公式;(3)设Pn=b1+b4+b7+……+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+……