文档介绍：:..最优控制方法及其应用摘要最优控制是现代控制理论的核心,它研究的主要问题是:在满足一定约束条件下,寻求最优控制策略,使得性能指标取极大值或极小值,使控制系统的性能指标实现最优化的基木条件和综合方法。可概括为:对一个受控的动力学系统或运动过程,从一类允许的控制方案屮找出一个最优的控制方案,使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时,其性能指标值为最优。从数学上看,确定最优控制问题可以表述为:在运动方程和允许控制范围的约束卜•,对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数(称为泛函)求取极值(极人值或极小值)。解决最优控制问题的主要方法有古典变分法(对泛函求极值的一种数学方法)、极大值原理和动态规划。最优控制己被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。研究最优控制问题有力的数学工貝是变分理论,而经典变分理论只能够解决控制无约束的问题,但是工程实践中的问题人多是控制冇约束的问题,因此出现了现代变分理论。现代变分理论中最常用的有两种方法。一种是动态规划法,另一种是极小值原理。它们都能够很好的解决控制有闭集约束的变分问题。值得指出的是,动态规划法和极小值原理实质上都属于解析法。此外,变分法、线性二次型控制法也属于解决最优控制问题的解析法。最优控制问题的研究方法除了解析法外,还包括数值计算法和梯度型法。摘要 1第一章古典变分法 3第二章最大值原理 7第三章动态规划 io第四章线性二次型 13结束语 15参考文献。直接来说,求泛函的极人值或者极小值问题成为变分问题,而求泛函极值的方法就成为变分法。。在许多实际控制问题中,控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制,如方向舵只能在两个极限值范围内转动,电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此,古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题,是无能为力的。变分法上研究泛函极值的一种方法,为古典变分法。拉格朗日问题:求一容许函数兀⑴,使泛函J=『F(r,x(r),x(/)Xf*0取最小值。下面利用泛函丿[曲)]达到极值的必要条件:刃=0,导出欧拉方程。引理:设连续函数x=M⑴对于任一具有下述性质的函数〃⑴(1)在%心]上,〃⑴连续⑵ f)=°总有J=「M(f)77(M三()Jo则对于rG[ro,r/],M(r)=0o定理:若最简单的泛函丿[班"]=F(r,x(r),x(r))Jr;兀仇)=旺,兀(卩)=兀在曲线"兀⑴处达到极值,贝IJ兀=兀⑴必为欧拉方程的解。证明因为泛函J[x(r)]在兀二x(r)处达到极值,所以有SJ=[(Fx8x+F,8x)dt=Q*0其中&(/。)=&(//)=0['=F,8x\f-{'8x—{F.}dt=-「3x—(F.)dt心A) dt % dt代入得&J=fz(Fv-—=0山 dt由引理可得还可写成欧拉方程是二阶常微分方程。两个积分常数由两个边界条件确定。变分法应用: 丿[x(M=f(F-满足边界条件x(0)=0,x(彳)=1的极值曲线。解欧拉方程为一知7-2—0求得x=Cxcosr+C2sint,由边界条件可得G=0,G=l。故得极值曲线为x=sinro含有多个未知函数的变分问题J[X]=VF(t,X,无)df•*o其中X(t)=[xi(t)9x2(t),-xn(t)]T有和似结论边界条件为X(/°)=X0,X(tf)=Xf。第二章极值原理为了解决古典变分法在求解最优控制问题中所暴露出来的上述问题,许多学者进行了各种探索。其中以苏联学者庞特里雅金(Pontryagin)的最人值原理(或最小值原理)与美国学者贝尔曼()的动态规划较为成功,应用也较广泛,现已成为求解最优控制问题的强有力的工具。给定系统的状态方程和初态X(tO)二X0,而终端时刻tf固定,终端状态X(tf)自由以及控制变量U(t)所受约束条件是U⑴wG、 tE[totf]则为将系统从给定的初态X(to)转移到某个终态X(tf),并使性能泛函%达到极小值的最优控制应满足的必要条件是:⑴设U*(t)是最优控制X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线,则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t),使得X*(t)和(t)满足规范方程加)4dX合HOA其中,H=H(X(f)説(/),[/(