文档介绍：---------------------------------作者:_____________-----------------------------日期::_____________有限元法笔记【有限元法】《有限元法在电磁场计算中的应用》电势与磁势表示的电磁场:拉普拉斯方程:泊松方程:【边界条件】三种边界条件:狄里克莱(Dirichlet)边界条件其中,为狄里克莱边界,为位置的一般函数。特殊情况可以为常数或为0;诺伊曼边界条件其中,表示诺伊曼边界,n为边界的外向法向矢量,和为一般函数,特殊情况下可以为常数或为0。【二阶空间微分算子】£ 其中,F表示一个一般函数关系,a,b,c为位置(即x,y)的一般函数。根据a,b,c的关系,又分为如下的方程:椭圆方程:双曲方程:抛物线方程:【加权余数法】加权余数法是在确定近似解函数待定系数的一种方法。用一组简单函数的组合来逼近微分方程的精确解,会带来一组待定系数,如何确定系数便决定了求解方法。精确解是一个未知量,很难求得,加权余数法就是要找出近似解所带来的误差,并使之最小化,从而求出近似解。【加权余数法的余数】定义为近似解和精确解之间在边界上和区域内施加拉普拉斯算子作用之后的误差。即: 其中,为近似解,为尝试函数,为待定系数。g为边界值。通常情况下,余数和不为0。但,我们通常可以选取适当的系数,使余数的平均值或积分值为0。为达到最好的效果,选取一组加权函数,使余数与加权函数的积分为0。加权函数的个数等于待定系数的个数。即这便是加权余数法的精要。【最小二乘法】当加权函数为余数函数本身时,构成了最小二乘法:一般,不为0。但可以选取适当的系数(i=1,2,…,n),使达到最小。【迦辽金(Galerkin)法】当选取的加权函数为尝试函数本身时,就是迦辽金法:在由拉普拉斯确定的边界值问题时,迦辽金的表示法如下,式中,加权函数的个数刚好等于未知系数的个数,确定了n个线性方程,由此可以解出n个未知系数。迦辽金法的好处是,方程组写成矩阵形式,1其系数矩阵为对称矩阵。2对尝试函数的连续性有所降低;选择的范围扩大。3狄里克莱条件和诺伊曼条件可以包含在余数积分中,形成自然条件,降低计算要求。【加权余数法构成方程组】一般问题,在空间Ω中,电磁场由偏微分方程描述,并服从定义在边界上的边界条件:余函数,选取一般形式的n个函数构成近似解: 再选取适当的加权函数和,使余数和的平均值为0。对调线性算子和求和符号,成下列形式:j从1到n的变化,可以得到n个方程。写成矩阵形式:其中,为n×n矩阵,为一维列矩阵,、均为一维列矩阵。又是源矩阵,为边界矩阵。对于矩阵,其一般项可由上式写出: 上述公式为加权余数法的一般公式,计算机很难实施。而有限元法则是巧妙的选择加权函数和尝试函数,使这些积分的计算得到很大的改善。在众多的方法中,迦辽金法在有限元法中被广泛的应用。【格林第一定理】【矢量场的散度定义】散度是通量函数对空间或体积的变化率。是一种体积导数。正如仍是x的函数。体积导数仍是【体积(无限小)】空间点的函数。散度在直角坐标下的公式:从散度公式经过推理得出散度定理:格林定理也叫格林公式,是电磁学中的重要公式,是求解边值问题的重要工具。它是由散度定理推理得出的。令,和都是定义在空间上的任意标量,只要满足连续、可微。根据矢量恒等式:而梯度与方向导数的关系:由梯度的定义,表示在上的投影。而方向导数的定义,,比较上式,也就是说,u在某个方向上的偏导数,就等于u的梯度在该方向上的投影。,代入散度定理,得到格林第一定理:格林第一定理可以写成:左面为二阶项,而右边为两个一阶项的积分,简化了积分。【选取适当的尝试函数,可以简化余数函数方程】泊松方程的边界条件: 其中,q表示源激励项,g表示势函数狄里克莱边界上的值,h表示诺伊曼边界上上的电势沿外向法向方向的导数值。假设问题的近似解为,则用加权余数法解决该问题时,令余数在该空间和边界上的积分之和为0。即,可以选择适当的尝试函数,来消去第二项,即选择适当的尝试函数,使其在狄里克莱边界上永远满足:,(后面证明)这样,将第一项和第三项展开,就只有下面的加权余数方程式:应用格林第一定理将第一项展开,得到:将此式回代入上式,得到下列表达式:分析该式,我们发现第三和第五项可以在选择时可以抵消掉。因为加权函数的选择是自由的,因而可以这么选择。如果适当的选择,使其在边界上的值用于是0(或为定值),则上述的六项就变成了下面的三项:上式中没有明显的出现诺伊曼条件的表达式:,这是因为选择了加权函数,消去了该项。如此选择,便“自然”的满足了诺伊曼条件。注意上式中,还没有具体实现,使其在上的边界值为0。【迦辽金法可以使余数方程进一步简化】加权函数就是尝试函数本身,这就是迦辽金法。设其中,是构成近似解的尝试函数。这样上述的余