文档介绍：:..(时间:120分山东师范大学试题共100分)Id—H甘ooooe痘」起包安课程编号:4081331课程名称:泛函分析适用年级:2008学制:四适用专业:数学与应用数学试题号—・二三阅卷人复核人得分题类別:得分阅卷人考生注意事项1、全题三个大题,22个小题。判断正确(J)与错误(X)(本题10个小题,每题3分,共3()分):Q v—vT 11、 ()丘中定义距离p(x,y)=/ 一"点列{-}是基木列。⑴当x*。 n2、 ()离散距离空间。设X是一个非空集合,在X上定义p(x9y)= ^X=y',则X⑴当xHy。按。成为一完备距离空间。3、 ()距离空间中总有B(x,r)=B(x,r)o4、 ()(4)T:XtX|是连续映射的充要条件是:X|中每个开集G的原象T_,(G)是X中开集。5、 ()完备的距离空间能表示成可列个稀疏集的并。6、 ()有界数列空间加可分。7、 ()设乂是距离空间,MuX,如果M对Vg>0,都有可列个点组成的£一网存在,则称M为全有界的。& ()有界线性算子列一致收敛则必强收敛。9、()设厶,坊是Banach空间,D包含于耳,T:P->£2是线性算子,若D=D(T)是Q中闭子空间,则T连续。10、()设己是赋范线性空间。xoe£,如果对任何/eE*,都有/*(兀0)=0,则兀°=0。得分阅卷人(本题共5个小题,1、2、3每题10分,4、5每题20分):1、设X和Y都是Banach空间,证明乘积空间XxY,赋有范数||(x,y)||=x|+J0(x,y)GXxy,是Banach空间。2、Fredholm型线性积分力程解的存在唯一性问题。考察Fredholm型方程(p(x)-Aj^k(x,y)(p(y)dy=f(x)o(*)其中/(x)w厶2(a,b).R(x,y)可测且满足|k(x,y)|2dxdy=M<co,a是参数。如杲INvM",则方程(*)在厶2仏①中有唯-解0(兀).(运)渥3、证明:全有界集必可分。ooq4、设给出了无穷矩阵(aij),i,j=l,2,3……满足条件工闯<00……(*),其中q>=(X[,X2,…)G卩,令y.=£q内,y=(/,儿,…),定义%=y,则T是映整个”吉入卩的有界线性算子。4、设p>l,g(r)是区间\a,b]±的可测函数。如果对任何(l/“+l/g=l),积分恒存在,那么g(Jw芒肚闰。b ]%-內陆(兀,y)『dy<\A\\\\\k^y)fdxdy0(兀)一02(兀)参考答案—*、判断:1、wrong2xright3>错误4、止确5、错误6、错误7、错误8、止确9、错误10、止确二、1 证: 设{(墀幽阿西勿RY由于(H,儿)一(几,儿)=暫,心)一(儿,儿)=£一兀“+儿一儿;所以对所有,njn>lf有xn-xm<(xn-yn)-(xm-儿),儿一儿§(x“一儿)一(兀”一儿)。所以{£},{儿}分别是X和Y的柯西列。因为X和Y是Banach空间,所以他们都收敛。设£Tx且几Ty,贝I」(H,儿)一(兀』)=兀“一兀,儿一y)=xn-x+儿一yt0。即在XxY中(£,儿)T(x,y),这就证明了要征的结果。h2、证:令X=F=L7[a,h]及T/O)=/(兀)+几Jk(x,y