文档介绍：第16讲

Fisher 分布(费舌尔分布)和 Student 分布(学生分布)
考虑X1,....X k 和YY1,.... m 都是互相独立的,且均服从标准正态分布,
定义:称随机变量
X 22++… X
1 k
Z = 22
YY1 ++… m
的分布为自由度为k 和m 的 Fisher 分布,记为F ,mk 。
让我们计算 Z 的概率密度函数()。根据定义,随机变量
222222
XX=++11... Xkk ~ χ且 YY =++... Ym ~ χm
k 1
分别服从自由度为 k 和m 的χ 2 分布。由于χ 2 分布跟伽玛分布( +Γ) 是相同的,因此我
k 2 2
们得到了 X 和Y 的为:
k
1 2
( ) k 1
1 −− x
xf )( = 2 2 ex 2
k (x ≥ 0 )
Γ( )
2
m
1 2
( ) m 1
1 −− y
yg )( = 2 2 ex 2
m ( y ≥ 0)
Γ( )
2
X
要得到的概率密度函数,首先考虑如何得到其分布函数。因为 X 和Y 都是正数,它
Y
们的比值也是正数,因此,对t ≥ 0 ,我们有:
⎛⎞X
Ρ≤=Ρ≤=Ε≤⎜⎟tXtYIXtY()(){}
⎝⎠Y
∞∞
=≤I ()()()x tyfxgydxdy
∫∫00
∞ ty
= fxgydxdy() ()
∫∫00( )
图分布函数

这里 ygxf )()( 是 X ,Y 的联合密度。因为我们考虑的集合是{x ≤ ty} ,所以 x 的范围是
从0到ty (也可以从图得到)。
因为概率密度函数是分布函数的微分,XY/ 的概率密度函数可以通过如下得到:
dX⎛⎞ d∞∞ty
Ρ≤=⎜⎟t f() x g () y dxdy= f ( ty ) g () y ydy
dt⎝⎠ Y dt ∫∫00 ∫0
km
⎛⎞1122 ⎛⎞
⎜⎟km11 ⎜⎟
∞⎝⎠22−−11−−ty ⎝⎠ y
= ()ty22 e22() y e ydy
∫0 ⎛⎞km ⎛⎞
ΓΓ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠22 ⎝⎠
km+
⎛⎞1 2
⎜⎟ k ⎛⎞km+ 1
2 −1 ∞−+⎜⎟−1 ()ty1
= ⎝⎠ ty2 ⎝⎠2 edy2
⎛⎞⎛km ⎞
∫0
ΓΓ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝22 ⎠
标识表示出来的那部分很像参数为α= + mk 2/)( ,β= 2/1 的伽玛分布Γαβ),( ,只
是前面少了一个常数,如果我们乘上一个常数再除去该常数,有
km++km
⎛⎞1122 ⎛km+ ⎞⎛⎞
⎜⎟k Γ+ ⎜⎟⎜()t 1 ⎟⎛⎞km+ 1
−−11∞⎜⎟−1 ()ty+
dX⎛⎞⎝⎠22222 ⎝⎠⎝⎠⎝⎠2
Ρ≤=⎜⎟ttkm+ yedy
dt⎝⎠ Y ⎛⎞⎛km ⎞∫0 ⎛km+ ⎞
ΓΓ⎜⎟⎜⎟⎛⎞1 2 Γ⎜⎟
⎝⎠⎝22 ⎠⎜⎟()t +1 ⎝2 ⎠
⎝⎠2