文档介绍：第2课

一些概率分布
首先回顾一下本课程中的一些常用分布,主要涉及两种类型:

离散型分布
假设集合Χ包含有可数或有限个点,
Χ={aaa123,,,
}
于是,空间Χ上的概率分布P 可以通过Χ上的函数px() 定义,且具有下列属性:
1. 0(≤≤pai )1
∞
2. pa()1=
∑i =1 i
px()称为概率函数。如果X 是一个服从分布Ρ的随机变量,则 pa()i=Ρ() ai是X 取 ai
的概率。给定函数ϕ:,X →
则ϕ( X ) 的期望可定义如下:
∞

Ε=ϕϕ()X ∑()()apaii
i=1
绝对连续分布。

上的连续分布Ρ通过
上的概率密度函数px() 来定义,其中 pX()0≥且
+∞
pXdx()= 1。如果随机变量X 服从分布P ,则X 在区间[ab, ] 上取值的概率:
∫−∞
b
Ρ∈X []ab,( = pxdx)
()∫a
显然,在这种情况下,对于任何∀a ∈
我们有Ρ()Xa==0,给定函数ϕ: X →
,
ϕ()X 的期望可定义如下:
+∞
Ε=ϕϕ()X ()()xpxdx
∫−∞
注:随机变量X 服从分布Ρ,可记作X ∼
。
例 1:均值为α,方差为σ 2 的正态分布 N(,ασ 2 ),是
上的连续分布,其概率密度
函数为:
()x−α 2
−
1 2
px( ) = e2σ, x∈() −∞, +∞
2πσ
正态分布通常用以描述由大量独立因素影响的连续随机变量,例如,人的身高或体重,
股市的波动,等。因此,在这种情况下,依据中心极限定理,可以采用正态分布进行分析。
例分布 B()p 描述的是只有两种可能取值的随机变量分布,亦即,
Χ={0,1} . ,该分布可由如下概率函数表示:
pXppX(1)=Ρ( = 1) = , (0) =Ρ( = 0) = 1 − pp 当时∈[ 0,1]
例 E()α是连续分布,其概率密度函数为:
⎧αex−α x ≥ 0,
px()= ⎨
⎩0 x < 0.
这里,α> 0 是分布的参数。
这个分布有较好的特性。如果随机变量 XE∼()α,则对于某个t > 0 ,x 超过水平 t (即
X > t )的概率为:
∞
Ρ≥=Ρ∈∞=()(,)X tXt[ ) α edxe−−α x =αt .
∫t
对于s > 0 ,当 X > t 时, X >+ts的概率可如下计算:
Ρ≥+≥( XtsXt, ) Ρ()X ≥+ts
Ρ≥+≥=()XtsXt =
Ρ≥()X tX Ρ≥()t
===Ρ≥eeeXs−+ααα()ts − t − s ( ),
例如:
Ρ()(X ≥+tsXt ≥=Ρ X ≥ s).
换句话说,如果在某种随机条件下,用X 代表某一元件的寿命,则上述特性即指:已
知元件已使用了s 小时,它总共能使用至少 t+ s小时的条件概率,与从开始使用时算起它
至少能使用t 小时的概率相等。或者可以说,元件