文档介绍：附件三《材料成型原理》备课笔记
第十四章应力分析
基本要求:
1. 了解张量的基本概念、变形体内任意一点的应力状态定义;
2. 掌握任意一点的应力状态分析与计算。
第一节张量的基本知识
一、角标符号和求和约定
成组的符号和数组用一个带下角标的符号表示,这种符号叫角标符号。用角标符号表示物理量在坐标系
中的分量,可以使冗长繁杂的公式在形式上变得简洁明了。如直角坐标系的三根轴 x、y、z,可写成 x1 、 x2 、
x3 ,用角标符号简记为 xi (i=1,2,3);空间直线的方向余弦 l、m、n 可写成 lx 、ly 、lz ,简记为 li (i=x、
y、z)。如果一个坐标系带有 m 个角标,每个角标取 n 个值,则该角标符号代表着 nm 个元素,例如
σ ij (i,j = x,y,z) 就包含有 9 个元素,即 9 个应力分量。
在运算中,常遇到 n 个数组各元素乘积求和的形式,例如
3
( )
a1x1 + a2x2 + a3x3 = ∑ai xi = p 14-1
i=1
为了省略求和记号Σ,可以引入如下的求和约定:在算式的某一项中,如果有某个角标重复出现,就表
示要对该角标自 1 到 n 的所有元素求和。根据这一约定,上式可简记为
ai xi = p ( i =1, 2, 3 )
上述重复出现的角标叫哑标,而在用角标表示的算式中有不重复出现的角标,称为自由标。自由标不包
含求和的意思,但可以表示该等式代表的个数。在一个等式中,要分清哑标和自由标。
二、张量的基本概念
有些简单的物理量,只需要一个标量就可以表示,如距离、时间、温度等。有些物理量是空间矢量,如
位移、速度和力等,需要用空间坐标系中的三个分量来表示。更有一些复杂的物理量,如应力状态、应变状
态,需要用空间坐标系中的三个矢量,即 9 个分量才能完整地表示,这就需要引入张量的概念。
张量是矢量的推广,可定义为由若干个当坐标系改变时满足转换关系的所有分量的集合。广义地说,绝
对标量就是零阶张量,其分量数目为 30=1;矢量就是一阶张量,有 31=3 个分量;应力状态、应变状态是二
阶张量,有 32 = 9 个分量。
表 14-1 新旧坐标系间的方向余弦
xk
x1 x2 x3
xi
x1′ l1′1 l1′2 l1′3
x2′ l2′1 l2′2 l2′3
x3′ l3′1 l3′2 l3′3

设有某物理量 P,它关于 xi (i = 1,2,3) 的空间坐标系存在 9 个分量 Pij (i, j = 1,2,3) 。若将 xi 空间坐标系
的坐标轴绕原点 O 旋转一个角度,则得到新的空间坐标系 xk (k = 1',2',3') , 如图 14-1 所示。新坐标系 xk 的
坐标轴关于原坐标系 xi 的方向余弦可记为 lki 或 llj (k, l = 1′,2′, 3';i, j = 1,2,3)。由于 cos(xk , xi ) = cos(xi , xk ) ,
所以 lki = lik,llj = l jl 。
物理量 P 在新坐标系 xk 的九个分量为 Pkl (k,l = 1′,2',3') 。若这个物理量 P 在