文档介绍：线性系统的时域分析
目录(1/1)
目录
概述
线性定常连续系统状态方程的解
状态转移矩阵及其计算
线性时变连续系统状态方程的解
线性定常连续系统的离散化
线性定常离散系统状态方程的解
Matlab问题
本章小结
线性时变连续系统状态方程的解(1/2)
线性时变连续系统状态方程的解
严格说来,实际控制对象都是时变系统,其系统结构或参数随时间变化。
如电机的温升导致电阻以及系统的数学模型变化;电子器件的老化使其特性也发生变化;
火箭燃料的消耗导致其质量以及运动方程的参数的变化等。
但是,由于时变系统的数学模型较复杂,且不易于系统分析、优化和控制,因此只要实际工程允许,都可将慢时变系统在一定范围内近似地作为定常系统处理。
但对控制目标要求较高的高精度控制系统,需作为时变系统处理。
线性时变连续系统状态方程的解(2/2)
下面将讨论线性时变连续系统状态方程的求解问题,依次讨论:
线性时变连续系统齐次状态方程的解
线性时变连续系统的状态转移矩阵
非齐次状态方程的解
线性时变连续系统齐次状态方程的解(1/3)
线性时变连续系统齐次状态方程的解
当系统没有外部输入作用时,线性时变连续系统的状态方程为齐次状态方程,可表示为
x’(t)=A(t)x(t)
这里讨论其满足初始状态
的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强迫项(无外力)时的自由运动。
为保证该齐次状态方程解的存在性和唯一性,在系统的时间定义域[t0,tf]内,A(t)的各元素为时间t的分段连续函数。
线性时变连续系统齐次状态方程的解(2/3)
下面证明时变系统齐次状态方程的解为
x(t)=(t,t0)x(t0)
式中,(t,t0)为时变系统的状态转移矩阵,它定义为如下矩阵微分方程的解。
线性时变连续系统齐次状态方程的解(3/3)
证明对解表达式x(t)=(t,t0)x(t0)求导,则有
且
x(t0)=(t0,t0)x(t0)=x(t0)
说明式x(t)=(t,t0)x(t0)满足齐次状态方程及其初始条件。
根据微分方程解的唯一性,所以它是齐次状态方程的解。
时变系统齐次状态方程的解表示了系统自由运动的特性,也代表了初始状态x(t0)的转移,其转移特性完全由状态转移矩阵Φ(t,t0)决定。
线性时变连续系统的状态转移矩阵(1/1)
线性时变连续系统的状态转移矩阵
下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为:
状态转移矩阵的求解
状态转移矩阵的性质
状态转移矩阵的求解(1/7)
1. 状态转移矩阵的求解
对于线性时变连续系统,状态转移矩阵Φ(t,t0)是如下矩阵微分方程和初始条件
’(t)=A(t)(t), (t)|t=0=I
的解,它是一个n×n维的关于时间变量t和t0的矩阵函数。
为了求得状态转移矩阵Φ(t,t0)的表达式,可在时间域内对该矩阵微分方程积分,即有
状态转移矩阵的求解(2/7)
如果将上式中积分号内的Φ(1,t0)再按上式展开,则有
然后按此法继续迭代下去,并将各展开式代入式(3-59),可得