文档介绍：最优控制原理
目录(1/1)
目录
最优控制概述
变分法
变分法在最优控制中的应用
极大值原理
线性二次型最优控制
动态规划与离散系统最优控制
Matlab问题
本章小结
变分法(1/1)
变分法
本节在讨论变分法之前,先简单讨论多元函数的极值问题,然后引出泛函的极值问题。
内容为
多元函数的极值问题
泛函
欧拉方程
横截条件
欧拉方程和横截条件的向量形式
多元函数的极值问题(1/1)
多元函数的极值问题
多元函数极值问题可分为
无约束条件极值问题、
等式约束条件极值问题和
不等式约束条件极值问题。
下面分别讨论。
无约束条件的多元函数极值(1/3)
1. 无约束条件的多元函数极值
无约束条件的多元函数的极值问题讨论的是:
假定多元函数f(x1,x2,…,xn)对其所有自变量都连续,且具有连续的一阶和二阶偏导数。
将所有自变量x1,x2,…,xn记为向量x的形式,则问题为求x,使x=x*时,f(x)达到极小值。
该问题可记为
无约束条件的多元函数极值(2/3)--定义7-1
函数极小的定义是一个相对概念,并不是在函数的定义域上的一个绝对概念,其基本定义可表述如下。
定义7-1 若存在一个>0,由‖x-x*‖所规定的x*的邻域内总有y(x*)y(x),则称点x*是函数y(x)的一个相对极小点,简称为极小点。□
由数学分析知识可知,无约束条件时的多元函数极小值问题的解x*满足如下必要条件
无约束条件的多元函数极值(3/3)
如果函数f(x)对x的二阶导数矩阵在x*为正定矩阵,则上述多元函数极小值问题的必要条件亦为充分条件,即
是x*为该多元函数极值问题的解的一个充分条件。
有等式约束条件的多元函数极值(1/5)
2. 有等式约束条件的多元函数极值
有等式约束条件的多元函数极值问题可描述为
式中,g(x)为p维的向量变量x的向量函数,并假定其连续可微;
g(x)=0即为等式约束条件。
有等式约束条件的多元函数极值(2/5)
拉格朗日乘子法是解决有等式约束条件的函数极值问题的有效方法,其求解基本方法如下。
1) 先引入拉格朗日乘子=[1 2 …p],定义如下拉格朗日函数
2) 该极值问题的解x*满足如下必要条件
如果函数L(x)对x的二阶偏导数矩阵在x*为正定矩阵,则该必要条件亦为充分条件,即
有等式约束条件的多元函数极值(3/5)—例7-1
例7-1 求给定关于n维变量向量x的二次型标量函数
在约束条件
下的极小值。
其中,e为m维常数向量;A,H和b分别为适宜维数的常数矩阵和向量;c为常数。