等轴双曲线-共轭双曲线.doc

文档介绍：等轴双曲线-共轭双曲线等轴双曲线-共轭双曲线共轭方向法&共轭方向法引言本节之后的方法大多属于共轭方向法。共轭方向的概念若两个向量X?Rn,Y?Rn,满足如下关系:XTAY=0(3-6-1)其中,A为n×n的对称正定阵,则称X和Y是关于A共轭的,X和Y称之为共轭方向。注意:若XTY=0,则称X与Y正交。实际上,共轭是正交的推广。例1:有两个二维向量S1是否正交,解:112=,S2=,A=1?111,判断S1与S2是否关于A共轭,2S1TAS2=[1S1TS2=[121]?111?=0,因此,S1与S2关于A共轭。2?111]?=0,因此,S1与S2正交。?1共轭向量的概念如果有m个n维向量S1,S2,S3,...,Sm,满足TSiASj=0TSiASj?0(i?j),且A正定(i=j)(3-6-2)则称这m个向量是A的共轭向量。如果共轭向量的几何意义设目标函数为A为n维单位阵,则称这m个为正交向量。F(X)=1XTAX+BTX+C其中,A为n×n阶的对称正定阵。F(X)的梯度为:(3-6-3)?F(X)=AX+B(3-6-4)设从某点X0出发,沿P0方向进行搜索得到F(X)的极小点X1,则有?F(X1)TP0=(AX1+B)TP0=0(3-6-5)设从某点X0出发,仍沿P0方向进行搜索得到F(X)的极小点X2,则有?F(X2)TP0=(AX2+B)TP0=0(3-6-6)式(3-6-6)减(3-6-5),可得:(X2?X1)TAP0=0这说明(X2(3-6-7)?X1)与P0是关于A共轭的。共轭方向法的原理TSiASj=0考虑m个n维向量S1,S2,...,Sm,满足TSiASj?0(i?j),且A正定,则这m个向量一定(i=j)是线性无关的。用反证法。假设S1,S2,...,Sm线性相关,则一定存在一组不全为0的一组数1,2,...,m,满足1S1+2S2+...+mSm=0则有(3-6-8)SiTA(1S1+2S2+...+mSm)=1SiTAS1+2SiTAS2其中,i+...+mSiTASm=0(3-6-8)=1,2,...,m。因此有:SiTASi=0,但这与原假设不符。因此,一定可以得出S1,S2,...,Sm线性无关的结论。注意:在n维空间中的任意向量,均可以用n个线性无关的n维向量表示,也可以说,n维是由n个线性无关的n维向量张成的。那么,设目标函数点为f(X)的极小点为X*,初始X0,S0,S2,...,Sn?1为关于A的n个共轭向量,则有:X*?X0=0S0+1S1+...+n?1Sn?1(3-6-9)将式(3-6-9)写成差分格式:Xk+1=X=kX=2X1=Xk+kSkXk?1+k?1Sk?1(3-6-10)X1+1S1X0+0S0式中,k=0,1,...,n?1,表示经过k+1次迭代后,Xk+1?X*。该式表明,Xk+1为目标函数沿Sk方向的一个极小点,则有:?F(Xk+1)TSk=?F(Xk+kSk)TSk=0即(3-6-11)[A(Xk+kSk)+B]TSk=(AXk+B)Sk+kSASk=?F(Xk)Sk+kSASk=0即可推导出:TTkTTk(3-6-12)??F(Xk)TSkk=TSkASk式(3-6-13)表明,如果能够构造出一系列共轭向量Sk(k步迭代,可以求得(3-6-13)=1,2,...,n?1),则可以求出k,那么经过kXk+1。对于二次函数,k=n。22minf(X)=x1+25x2例2求解解:首先,构造二次型:f(x)=1TXAX+BTX+C220x11=[x1x2]??x+0?X+005022即A=200,B=0,C=0。50取X0=[2,2]T,取第0个搜索方向为:2024S0=??F(X0)=?(AX0+B)=??2=?100,则根据式(3-6-13),有:0504?100T??F(X0)TS00==TS0AS042?10004?10010016=04500032?501002100164?X1=X0+0S0=[phone]由于S1与S0关于A共轭,则有2TTS1AS0=S100?4?=050?100上式与无穷多解,我们任取S?6251=1,则T??F(XT?1)S11=20050X1?6251ST=T1AS1?625?120050??6251X?6252=X1+1S1=X1+101=0X2?X*构造共轭方向的一般方法在n维空间中,已知有n个单位向量:第i个分量为ei=[0,0,...,1,0,...,0]i=1,2,...,n则n个共轭方向可以这样确定:S1=e1=[1,0,0,...,0]TS2=e2+1S1=e2+1e1其中,1为待定系数。由于,S2和S1关于A共轭,因此S2TAS1=0,即(e2+1S1)TAS1=(eT2+1S1T)AS1=0可得?eT2