文档介绍：浅谈正定二次型的判定方法浅谈正定二次型的判定方法摘要二次型与其矩阵具有一一对应关系,~实矩阵的正定性的定义~特征值法~矩阵合同以及相应的推导性质来判定二次型的正定性。关键词二次型矩阵正定性应用1引言在数学中,,有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到,而且在物理学中也会经常用到,,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别,下面将用二次型的性质来求函数的最值和证明不等式因此,,a,个文字,,…,的二次齐次多项式xxxp,pij12nnn22fxxxaxaxxaxxaxaxx(,,,)22??,,,,,,,,12**********nnnnijij,,11ij(a,a,i,j,1,2,...,n)fna称为数域上的一个元二次型,,,,即ij222fxxx(,,...,)fdxdxdx,,,...=,任意一个二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范性22222zzzzz,,,,,,…………f,其中正平方项的个数称为的正惯性指数,负平方pppr,=,其中,fxxx(,,...,)fxxx(,,...,)xxxx,(,,...,)xAx12n12n12n为对称矩阵,称上式为二次型的矩阵形式,称为二次型的矩阵(必是对称矩Aa,()Aijnn,阵),=是元实二次型(A为实对称矩阵),如果对任意fxxx(,,...,)nxAx12n不全为零的实数都有,则称为正定二次型,c,,...,(,,...)0,(,,...)0,,则称为半正定二次型,称为半正定矩阵;(,,...)0,(,,...)0,,则称为负定二次型,称为负定矩阵;如果,称ff12n12n为半负定二次型,称为半负定矩阵;既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次AA型,,XAX,TTTXAX,0XAX,0X(1)如果对任何非零向量,都有(或)成立,则称为正定f,XAXA(负定)二次型,矩阵称为正定矩阵(负定矩阵).TTXAX,0XAX,0X(2)如果对任何非零向量,都有(或)TT成立,且有非零向量,使,则称为半正f,XAX定(半负定)二次型,矩阵XAX,0X000A称为半正定矩阵(半负定矩阵).注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定),,(a)定义3n阶矩阵的个行标和列标相同的子式kijaa?aiiiiii11121kaa?aiiiiii21222k(1,i,i,?,i,n)12k????aa??a11121kaa?a21222k|A|,(k,1,2,?,n)k????aa?,,定理1实二次型是正定二次型的充要条件是它的f(x,x,?,x),XAX(A,A)12n正惯性指数等于n,X,PY证明设实二次型经线形替换化为标准形fxx?xXAX(,,,),12n222(1)f,dy,dy,?,dy1122nn其中由于为可逆矩阵所以不全为零时也不全为,d,R,i,1,2,?,,x,?,xpi12n零反之亦然.,y,y,?,y12n如果是正定二次型那么,当不全为零,即不全为零时,fx,x,?,xy,y,?,y(,)12n12n有222(2)f,dy,dy,?,dy,0nn1122d,(1,i,n),若有某个比方说则对这y,y,?,y,0,y,1组不全为ni12n,1n,,(1)f,d,,0.(i,1,2,?,n)inf即的正惯性指数等于fd,0,(i,1,2,?,n)x,x,?,x(,)如果的正惯性指数等于则于是当不全为零n,i12n,,y,y,?,yf(