文档介绍：浅谈正定二次型判定方法
摘 要 二次型和其矩阵含有一一对应关系,, 实矩阵正定性定义, 特征值法, 矩阵协议和对应推导性质来判定二次型正定性。
关键词 二次型 矩阵 正定性 应用
1 引 言
在数学中, , 有很大实际使用价值。 它不仅在数学很多分支中用到, 而且在物理学中也会常常见到, 其中实二次型中正定二次型占用特殊位置. ,二次型正定性判别可转化为对称矩阵正定性判别, 下面将用二次型性质来求函数最值和证实不等式所以, 对正定矩阵讨论相关键意义.
2 二次型相关概念
二次型定义
设是一个数域, , 个文字,,…, 二次齐次多项式
称为数域上一个元二次型, , 为复数时,称 , 即=称为标准型.
定义1 在实数域上, 任意一个二次型经过合适非退化线性替换能够变成规范性,其中正平方项个数称为正惯性指数, 负平方项个数称为负惯性指数.
二次型矩阵形式
二次型可唯一表示成=, 其中, 为对称矩阵, 称上式为二次型矩阵形式, 称为二次型矩阵（必是对称矩阵）, 称秩为二次型秩.
正定二次型和正定矩阵概念
设=是元实二次型（为实对称矩阵）, 假如对任意不全为零实数全部有, 则称为正定二次型,称为正定矩阵; 假如, 则称为半正定二次型, 称为半正定矩阵;假如, 则称为负定二次型, 称为负定矩阵;假如, 称 为半负定二次型, 称为半负定矩阵; 既不是正定又不是负定实二次型称为不定二次型, 称为不定矩阵.
定义2 另一个定义 含有对称矩阵二次型
(1) 假如对任何非零向量, 全部有 （或）成立, 则称为正定（负定）二次型, 矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.
(2) 假如对任何非零向量, 全部有 （或）
成立, 且有非零向量, 使, 则称为半正定（半负定）二次型, 矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）.
注:二次型正定(负定)、 半正定(半负定).
,二次型正定性判别可转化为对称矩阵正定性判别.
定义3 阶矩阵个行标和列标相同子式
称为阶次序主子式.
3 实二次型正定判别方法及其性质
定理1 实二次型是正定二次型充要条件是它正惯性指数等于
证实 设实二次型经线形替换化为标准形
其中因为为可逆矩阵所以不全为零时也不全为零反之亦然.
假如是正定二次型那么当不全为零即不全为零时有
若有某个比方说则对这组不全为零数代入式后得这和是正定二次型矛盾所以必有
即正惯性指数等于
假如正惯性指数等于则于是当不全为零即当不全为零时式成立从而是正定型
定理2 实二次型是正定二次型充要条件是对任何
维实非零列向量必有
证实 由假设是正定二次型故存在实非退化线形替换使
对因非奇异故于是由可知
设秩和正惯性指数分别为和先证如则由惯性定理
存在非退化线形替换使得
由假设对任何但对列向量
（因是非奇异阵,1是第个分量）却有
于是取
由即得又和假设矛盾,故即是正定二次型
定理3 实二次型是正定二次型充要条件是规范形为
证实 实二次型是正定二次型则由定理1可知正惯性指数为, 则二次型可经过非退化实线形替换成
规范形为则正惯性指数为由定理1可知为正定二次型
定理4 实二次型是正定二次型充要条件是矩阵和单位矩阵协议
证实 实二次型是正定二次型则由定理3可知规范形为
此即存在非退化线形替换其中可逆使得
所以所以矩阵单位矩阵