量纲分析法.doc

文档介绍：量纲分析法3、量纲分析法量纲分析是20世纪初提出的,在物理领域中建立数学模型的一种方法,它是在经验和实验的基础上,利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系。,有些物理量的量纲是基本的,另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中,把长度l,质量和时间的tm量纲作为基本量纲,记为,1,2,,,,;,LT,f,MLT,,,,,,l,L,m,M,t,Tv,力f在国际单位制中,有7个基本量:长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的,量,它们的量纲分别为L、M、T、I、、J、和N;称为基本量纲。任一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积,,,,,,,,,,q,LMTI,NJ量纲齐次性原则:用数学公式表示一个物理定律时,等式两端必须保持量纲一致。量纲分析就是在保证量纲一致的原则下,分析和探求物理量之间关系;先看一个具体的例子,再给出量纲分析的一般方法。l例3—1:单摆运动,质量为的小球系在长度为的线的一端,线的另一端固定,小m球偏离平衡位置后,在重力作用下做往复摆动,忽略阻力,求摆动周期的表达式。mgtt,m,l,g解:在这个问题中有关的物理量有设它们之间有关系式,,,312t,,mlg---------------()1其中为待定常数,入为无量纲的比例系数,取(3(1)式的量纲表达式有,,,,,23,,,,,,,2,,1232331T,MLT整理得:--------------(),,,,,,,,t,mlg由量纲齐次原则应有,,0,1,,,,,0---------------(),23,,2,,13,11l,,0,,,,,,,,解得:代入(3(1)得-------()t,,123g22()式与单摆的周期公式是一致的下面我们给出用于量纲分析建模的BuckinghamPi定理,定理:设n个物理量之间存在一个函数关系x,x,??,x12n--------------(),,fx,x,??,x,012n为基本量纲,m,n。的量纲可表示为,,,,x??xx1m1m,ij[x],[x]i,1,2,??,nij,,1jRankA,r,矩阵称为量纲距阵,若则()式与下式等价,A,(,)ijn,mF(,,??,),012n,r其中F为一个未定的函数关系,为无量纲量,且可表示为,,ssn(s),i,,x-----------()si,,1i(s)(s)(s)(s)T而为线性齐次方程组的基本解向量.,,(,,??,)A,,012n利用Pi定理建模,关键是确定与该问题相关的几个基本量纲的无量纲量,,,??,12n,r作为量纲分析法的应用,(2航船的阻力,flh长吃水深度的船以速度航行,若不考虑风的影响,航船受到的阻力除依赖于船vl、h、v的诸变量以外,还与水的参数——密度P,粘性系数,以及重力加速度g有关。,我们利用pi定理分析f和上述物理之间的关系1(航船问题中涉及的物理量及其量纲为,2,[f],LMT,[l]L,,,[h]L,,,1[v]LT,,,,3,[]LM,,,1,1,[,]LMT,,,2[g]LT,,我们要寻求的关系式为,(f,l,h,v,,,,,g),0------