文档介绍：第6章2k因子設計
Chap 6. The 2k Factorial Design
当有必要研究多因子对一反应变量的综合效果时,因子设计(Factorial Design)大量且普遍地应用于多因子的实验。一最重要的情况是k个因子且各有2水准的状况(2k, LevelFactor),此设计的完整反复需要2´2´…´2= 2k个观测值,且称之为2k因子设计(2k Factorial Design)。
本章重点将聚于此设计,另整章假设(1) 因子是固定的,(2) 设计是完全随机的,与(3) 一般的常态假设是满足的。
2k设计在实验工作的初期阶段,即当似乎有很多因子要研究时,是特别有效。它提供了在一次完整因子设计里可以研究k个因子的最小次数。因此,此种设计是大量应用于因子筛选实验(Factor Screening Experiments)。
因为每个因子只有2个水准,假设反应在选定的因子水准范围里是近似线性的,在很多因子筛选实验中,刚开始研究过(制)程或系统时,此假设是合理的。
2k设计(The 2k Design)
在2k系列中首先讨论2个因子(22),A与B,各有2水准,此称之为22因子设计,因子水准可称之为”低”与”高”。如,有一反应浓度和触媒量对化学反应过(制)程合格率效果的研究,令反应浓度为因子A,且有兴趣的2水准为15%与20%;另触媒量为因子B,且高水平为2 lbs与低水准为1 lb,实验反复3次,资料如下,
因子
处理组合
(bination)
反复(Replicate)
总和
(Total)
A
B
I
II
III
-
-
A-
B-
28
25
27
80
+
-
A+
B-
36
32
32
100
-
+
A-
B+
18
19
23
60
+
+
A+
B+
31
30
29
90
15% (低)
a = 100
36+32+32
B
因子
A因子
1 lb
(低)
25% (高)
2 lb
(高)
ab = 90
31+30+29
b = 60
18+19+23
(1) = 80
28+25+27
图6-1 22设计之处理组合
设计中的4个处理组合通常以小写字母表示,由上图知,在处理组合中任何因子的高水平以对应小写字母表示;处理组合中任何因子的低水准以对应字母的不出现表示。依传统,
(1)表示2因子都是在低水准,这个记号在整个2k系统都适用。
在22因子设计中,定义一个因子的平均效果为该因子水准改变所带来的反应改变。同时,符号(1)、a、b、ab表示在处理组合下n次反复的总和,则在B为低水准时A的效果为[a-(1)]/n与在B为高水平时A的效果为[ab-b]/n,将此两者取平均即为A的主效果(Main Effect):
A = {[a-(1)] + [ab-b]}/2n
A = [ab + a - b - (1)]/2n (6-1)
同理,B的主效果,即在A为低水准时B的效果为[b-(1)]/n与在A为高水平时B的效果为[ab-a]/n,将此两者取平均,则为
B = {[b-(1)] + [ab-a]}/2n
B = [ab + b - a - (1)]/2n (6-2)
定义交互作用(Interaction Effect) AB为B在高水平时A的效果与B在低水准时A的效果间的平均差异,
AB = {[ab-b]-[a-(1)]}/2n
= [ab+ (1) - a - b]/2n (6-3)
亦可定义AB为A在高水平时B的效果与A在低水准时B的效果间的平均差异,其结果与式(6-3)同。
A、B与AB效果的公式可用另一种方法导出,A的效果可由图6-1中右边两个处理组合的平均反应()与左边两个处理组合的平均反应(或)之差,即
A = - = (ab + a) /2n –( b –(1)) /2n
= [ab + a – b –(1)] /2n
此结果与式(6-1)完全一样。同理,B与AB之效果,
B = - = (ab + b) /2n –( a –(1)) /2n
= [ab + b – a –(1)] /2n
此结果与式(6-2)亦完全一样。
AB = (ab + (1)) /2n –(a + b) /2n
= [ab + (1) - b – a] /2n
此结果与式(6-3)亦完全一样。
利用图6-1之实验数据,可估计出平均效果为,
A = (90 + 100 - 60 - 80)/ 2(3) =
B = (90 + 60 - 100 - 80)/ 2(3) =