文档介绍：第三节函数的极限本节内容提要:一、当时,函数的极限x??二、当时函数的极限0x x?三、再讨论函数的极限四、当时,f(x)的左极限与右极限0x x?五、函数极限的性质本节重点:函数极限的概念,:函数极限的概念。教学方法:启发式教学手段:多媒体与面授教学时数:2学时返回一、当时,函数的极限x??( )f x考察时,函数的变化趋势,由图1-17可以看出,x??21( )1f xx?? y 1 0图1-1721( )1f xx??当x的绝对值无限增大时,的值无限接近于零,即当时,f (x)→:如果当x绝对值无限增大即时,对应的函数值无限趋近于一个确定的常数A,,记作:x??( )f x( )f xx??( )f xx??( )limxf x A???或( ) ( )f x A x? ??根据上述定义2101limxx??????定义:设函数f(x)在|x|>M处有定义,如果对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数Z(Z≧M),使得适合不等式|x|>Z的所有X对应的函数值f(x)都满足( )limxf x A???或( ) ( )f x A x? ??注: 的几何意义是:做直线y=A+ε和y=A-ε,则总有一个正数Z存在,使当X<-Z或X>Z时,函数y=f(x)的图形位于这两条平等直线之间(图1-18)( )limxf x A???yA+εAy=f(x)A-ε-z 0 z x图1-17⑵定义中,自变量x的绝对值无限增大指的是x取正值而无限增大(记为x→+∞),同时也取负值而绝对值无限增大(记作X→-∞),:如果当x→+∞(或X→-∞)时,函数无限接近于一个确定的常数A,那么A就叫做函数当x→+∞(或X→-∞)时的极限,记作:( )limxf x A???或( ( ) )limxf x A????例如:yo x图1-182101limxx?????2101limxx?????及两个极限值相等,因此(如图)2101l i mxx????又如: 及lim arctan2xx?????lim arctan2xx?????? y y=arctanxox (图1-19)lim arctan lim arctanx xx x??? ????所以不存在(图1- 19)limarctanxx??由此得出:如果和都存在并且相等,那么( )limxf x???( )limxf x???( )limxf x??( )limxf x???( )limxf x???也存在并且与它们相等。如果和都存在但不相等,那么不存在. ( )limxf x??例例1 求和limxxe???limxxe????解:如图1-20所示0limxxe????0limxxe?????例2 讨论当时,函数的极限。x??cotarc x解:因为lim cot 0xarc x????lim cotxarc x?????lim cotxarc x???和lim cotxarc x???都存在,但不相等,所以lim cotxarc x??不存在yy=e-x y=exX 0图1-20返回二、当时函数的极限0x x?( )f x例3 考察当时函数的变化3x?( ) 23xf x? ?解函数在有定义( ) 23xf x? ?( , )????设X从3的左侧无限接近于3,即X取值及对应的函数如下表3??x( )f x3??………………… …可以看出,当x越来越接近于3时,( ) 23xf x? ?的值无限接近于3 y 3