文档介绍：近儿年数学建模获奖论文江河竞渡的优化模型一、符号说明V.:水流的速度V;:游泳者的速度单位:m/s单位m/sV:第一名游泳的速度单位:m/sJ第一名游泳所用的时间单位:s():游泳方向与水流方向的夹角y:竞赛区两岸的垂直距离单位:mS:竞赛区的水平距离单位:mL:水的位移单位:mt:游泳者所用的时间单位:sV,.:竞赛区笫i段的垂直距离单位:m5,.:竞赛区的笫i段的水平距离单位:m二、模型的建立与求解模型假设:⑴不考虑风力对水速的影响。⑵不考虑水温对人的体力影响。(3)不考虑江面风浪等水情对人的影响。⑷将起点和终点均看作一点,记为A,Bo⑸江面宽度保持不变,即两岸是保持平行的。模型I:(水流恒速模型)图1问题1:通过对本题的分析,利用流体力学原理及图论的分析方法,建立模型。,在14,旷的时间内,水流的位移为:断定游泳者的速度在逆水方向上冇一分量,即游泳者速度的方向应与水流的反方向成一定夹角,设此夹角为8,如图⑴。于是可得Uxsin0xr=1160(―cos&)x心1000解得V=/$3=°由题可知,长江水流速度的大小和方向是不变的,令游泳者的速度为V,方向与水流反方向成8角,于是可得:Vxsin^x^=1160(V/K-Vcos^)xr,=1000消去]我们可以得到夹角()与速度的关系为:^=os()+\当V=,代入可得0="。此时,rI=1160/(VXsinO)==,在此种情况下,游泳者所走的路线为从武吕汉阳门至汉阳南岸咀的一条直线。问题2:在问题1的假设下,当游泳者始终以和岸边垂直的方向游时,可以列出以下方程因为V/K=,得11V人=:当游泳者速度V人$,他们能到达终点。当游泳者速度VA<,他们将无法到达终点。有分析可知:,不可能达到2」924m/s,所以,日如呆从一开始路线选择错谋,将无法到达终点。模型屮看出影响游泳者到达终点的因索主要是:水流速度V水、游泳者的速度V和该速度方向与水流方向的夹角(),以及竞赛区域的水平距离S和垂直距离y。在2002年,全程长度较1934年要短的多,因此,若想到达终点,就必须要求游泳者速度比较快。如图⑵,合速度OS应保持在0A直线上,,根据力的平行四边形定则,ON二MS当MS丄OA时,— MS取得最小值。 /根据已知,OB=ll60m,OM=/$oOA=5000m时,MS]934=。在2002年时,OaJaB,+OB?=,MS2W)2=,在1934年时,,就能到达对岸,而一般人的游泳速度要比这个速度大的多,因此在此前提下,路线略冇变动,也不致被冲到下游,最终能够到达终点。而在2002年的这次比赛中,,且耍求方向准确,因此友一定的难度,只有部分人员选择了止确的方向,而大部分人被冲到了下游,所以到达终点的人数较少。因此2002年能游到终点的人数的百分率比1934年要小的多。由上面分析可知,能够到达终点的选手必须满足如下条件:,。,以调整方向选择正确的路线。模型II:(水速分段变化的模型)问题3的求解根据水的流速,将游泳路线分为三个阶段考虑,在每一阶段上速度为一定值,与第一问的情况大致相同,所走路线如图(3)所示。设在三段中,所用的时间分别为小t2>七3,&5,+52+53=1000m,于是可得以下关系:]=/?x/2==200(-)tx+(-)t2+()t3=100()目标函数为:min(r)=tx+r2+r3o结介模型II通过编程求的最优解:即游泳者在个路段中的游泳方向与水流反方向的夹角分别为:d=”#=°,c=°各交界点坐标分别为:A(,200),B(,960)游泳者所走路线的函数方程为:%, =,<x<,^x^1000游泳者的路线在各段中均为直线,如图(3)所示。竞渡