文档介绍：相似矩阵的定义相似矩阵的性质利用相似变换将方阵对角化第三节相似矩阵称为对A进行相似变换设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似其中可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。对A进行运算一、相似矩阵的概念定义(1)自反性A~A(其中k是正整数)(5)若A~B,(2)对称性若A~B,则B~A(3)传递性若A~B,B~C,则A~C相似是关于A的多项式二、相似矩阵的性质k个特别地,若有可逆矩阵P,使为对角矩阵,即则,而对于矩阵有利用上述结论可以很方便计算矩阵A的多项式若n阶矩阵A与B相似,则A与B有相同的特征多项式,从而有相同的特征值。证明:因A与B相似,所以有可逆矩阵P,使故定理推论若n阶矩阵A与对角矩阵相似是A的n个特征值。又特征值就是特征方程的根,,是否存在相似变换问题:矩阵P,使三、相似变换矩阵的求法若存在,如何找出这个矩阵?讨论:把P用其列向量表示为也即反之,如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量,则P可逆,且满足那么令注意因为特征向量不唯一,所以上述矩阵P也是不唯一的。并且由上面的讨论即有:n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。定理如果n阶矩阵A的n个特征根互不相同,则A与对角矩阵相似。推论如果的特征方程有重根,此时不一定有个线性无关的特征向量,从而矩阵不一定能对角化,但如果能找到个线性无关的特征向量,还是能对角化.