文档介绍：第卷第期南京师大学报自然科学版..
年月,
李亚普诺夫方程的
简洁解及其应用
尤兴华,马圣容
.南京工程学院基础部,江苏南京
.南京晓庄学院数学与信息技术学院,江苏南京
摘要首先给出了种情况下李亚普诺夫方程:解的简洁表达式,然后,通过前述结论得出了矩
阵方程的最乘解以及极小范数最小二乘解的解析式,并且,通过相应数值例子验证了相关结
论.
关键词李亚普诺夫方程,约当标准型,最小二乘解,极小范数最乘解
中图分类号. 文献标志码文章编号

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当前,在矩阵理论领域,对矩阵方程以及广义逆理论的研究一直是最热点的问题之一,如文—.而
对矩阵方程解的研究与探索更是没有间断过,但几乎所有的结论要么基于矩阵、为特殊
矩阵如对称矩阵等的情形,要么解的表达形式过于繁琐,,还有一些文献仅仅只是讨
论了解的存在性,
如,在决定稳定性时就需要求解李亚普诺夫方程一.
综上所述,,我们认为给出该方程的解的最
,并且最终给出它的重要应用——矩阵方程
的最小二乘解以及极小范数最小二乘解.
本文采用的所有关于矩阵及广义逆方面的记号参考文献,.
设矩阵∈, ∈, ∈,考虑矩阵方程

这里~, 是矩阵和曰的约当标准型,其中
收稿日期:—.
基金项目:江苏省高校自然科学基金.
通讯联系人:尤兴华,讲师,研究方向:计算数学理论及应用.:..
一—
尤兴华,等:李亚普诺夫方程的简洁解及其应用

, , ≤≤,∑,

,
, ≤≤,∑.
再设

●
●
, ●
’

.

.
为了顺利得到最终的结论,我们再给出如下几个引理: ;
引理商.
引理¨ 设—,那么
,曰:一曰.

~ 、’
.
,一】,其中一一,
.
矩阵方程船的简洁解
当特征值,∈, ∈,,,⋯, ,,⋯,满足如下一些条件时,我们就可
以得到方程的惟一解的最简洁至少目前的公式.
定理如果/ ,,⋯,√,,⋯,,那么方程的惟一解的最简洁
表达式为
一,
其薹.
证明设~, 分别是矩阵和的约当标准型,这里和由和给
:

~
:
●

设,那么
.——————
南京师大学报自然科学版第卷第期年
一
· 一
一—
一
一
一—

易知,中每个元素都是一个多项式,
⋯
觑; ⋯~.
‘￡⋯;
由及￡的每一元素都是多项式,可得积分是收敛的·所以积
分胁也是收敛的,从而
.·:口胁口:

—一,
所以最简洁表达式即为方程的惟一解.
类似于定理,我们可以得出如下个推论:
推论如果/ ,,⋯, ,,⋯,,那么的简洁解