文档介绍：第四章控制系统的
李亚普诺夫稳定性分析
李亚普诺夫稳定性定义
李亚普诺夫稳定性判据第一法
李亚普诺夫稳定性判据第二法
线性定常连续系统的李亚普诺夫稳定性分析
2017/11/11
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绪论:
控制系统的稳定性,通常有两种定义方式:
1、外部稳定性:是指系统在零初始条件下通过其外部状态,即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输入有界输出稳定(BIBO)。
2、内部稳定性:指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适用于线性系统,而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性,稳定性是系统本身的一种特性,只和系统本身的结构和参数有关,与输入-输出无关。
稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。
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为系统被调量偏离其平衡位置的大小,
为任意小的规定量。
稳定性的数学表示法:
系统在受外界干扰后,系统偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性,用数学方法表示为:
[系统的稳定性]:
稳定性:(古典意义下的稳定,李氏下的渐近稳定)一个自动控制系统当受到外界干扰时,它的平衡状态被破坏,但在扰动消除后, 它仍有能力自动地回复到平衡状态继续工作,系统的这种性能,称为稳定性。
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第一法(间接法)
2)现代控制理论:李亚普诺夫稳定性:
第二法(直接法)
劳斯—胡尔维茨稳定性判据
1)古典控制理论:
乃奎斯特稳定性判据
线性定常系统
研究系统稳定性的方法:
线性、非线性;定常、时变系统等
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第一节李亚普诺夫稳定性定义
平衡状态
李亚普诺夫稳定性定义(4种)
稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定、不稳定
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一、平衡状态
平衡状态:对所有时间t,如果满足,称xe为系统的平衡状态或平衡点。f一般为时变非线性函数。如果不显含t,则为定常非线性函数。李氏稳定性针对平衡状态而言。
说明:
1、对于线性定常系统:
A为非奇异阵时,xe=0是其唯一的平衡状态。
A为奇异阵时,系统有无穷多个平衡状态。
2、对于非线性系统,有一个或多个平衡状态。
3、对任意孤立的,总可经过一定的坐标变换,把它化到坐标原点(即零状态)。一般将平衡状态取为状态空间原点。
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4、李氏稳定性针对某个平衡状态而言,不同的平衡状态点可能表现出不同的稳定性。所以,稳定性必须针对所有平衡状态分别加以讨论。
[例] 某非线性系统方程为:
试确定其平衡状态。
[解]:由,可得方程组:
解得3个平衡状态为:
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李氏稳定几何表示法:
二、李亚普诺夫意义下的稳定(4种:系统自由响应是否有界)
1、稳定与一致稳定: (系统的自由响应是有界的)
设为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域或任意正实数,都可以找到另一个正实数或球域,当初始状态满足时,对由此出发的X的运动轨迹有,则称平衡状态在李亚普诺夫意义下是稳定的。
如果与初始时刻无关,则称平衡状态是一致稳定的。
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说明1: 表示初始偏差都在以为半径,以平衡状态 Xe为中心的球域里。其中
表示状态偏差都在以为半径,以平衡状态 Xe为中心的球域里。
说明2:李氏稳定性针对平衡状态而言,反映的是平衡状态临域的局部稳定性,即小范围稳定性。
说明3:系统做等幅振荡时,在平面上描出一条封闭曲线,只要不超过,就是李氏稳定的,而古典则认为不稳定。
-欧氏范数
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如果与初始时刻无关,则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
设xe为系统的孤立平衡状态,如果它是李氏稳定的,且当t趋向于无穷大时,有:
即收敛于平衡状态xe,则称平衡状态xe为渐近稳定的。
渐近稳定几何表示法:
2、渐近稳定和一致渐近稳定:(自由响应有界并回到平衡状态)
说明:稳定和渐近稳定,两者有很大的不同。对于稳定而言,只要求状态轨迹永远不会跑出球域,至于在球域内如何变化不作任何规定。而对渐近稳定,不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域,而且还要求它最终收效或无限趋近平衡状态xe。
古典的稳定性,就是李氏意义下的渐近稳定。
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