文档介绍：第 24 卷第 2 期 V N o 2
2 007 年 6 月么1 打
矩阵方程 A B 的中心对称解及其最佳逼近’
林玲
(广东外语外贸大学信息科学技术学院,广东广州,510420)
摘要基于一种新的思路,
洁且满意的结果.
关键词中心对称矩阵,矩阵方程,最佳通近
中图分类号 0 文献标识码 A
1. 引言
约束矩阵方程问题有着广泛研究的内容,
阵集合、不同类型的矩阵方程均构成完全不同的问题,至今已取得相当丰硕的成果,特别对于
简单矩阵方程 AX B 的约束解的研究,已涉及的约束矩阵集合非常广泛,已发表了大量的论
文,,如何进一步揭示约束矩阵的性质,对已研究过的问题,提出新
的解决途径是很有意义的‘
令 Rnx“表示所有n x m 阶实矩阵集合,Sn二(en,en-I,⋯,。,)为反序单位阵,其中e‘是n
阶单位阵的第i列,ETE +分别表示矩阵 E 的转置和Moore -Pe, Rnx“中引人内
积(EF)=tr(FrE),y E ,FE Rnxm,由内积引人范数IE ll=六瓦厕,
而 Rnx“构成一个 Hilbert
CSRnx. = {A = (ay) Rnx ay = a,+,-i,n+l-j,ij 二1,2,⋯,n},
称 CSRnx“为n 阶中心对称矩阵集合.
问题I 给定 X ,B E Rnxm,求 CSR" “使AX 二B .
问题n 给定A pnxn,求通E S;使
1A ’一A ll = m m IA ’一A ll,
SE
其中s: 是问题I 的集合.
关于约束矩阵问题,均是利用约束矩阵集合中元素的通式表达式进行求解〔I-5].对于问题
I Iu ,可参看文【3].本文提出了一种新思路,不需要利用通式表达式,而是在充分揭示中心对
称矩阵性质的基础上,将原较复杂的问题转化为等价且简单的问题,从而不需要将问题按阶的
奇、偶分开讨论,【4」中研究的
,本文是文【3]的重要补充和完善.
,基金项目:国家自然科学基金资助项目(60572114)
收稿日期:2006一11一08
万方数据
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2. 问题 I 的解
引理112CSRnx“的充分必要条件是A = SnAJn.
’定义对于 Rn,若 Sna,称 a 为对称向量;若 Sna 二一a,称 a 为反对称向量.
引理2 若 a ,b 分别是对称、反对称向量,则 ab 二bTa 二0.
证明 aTaTSnSnb= (Sn)(Snb)= 一aTb,.
令
nxm = {SE = E , Rnxm},Ran m = {SnE = 一E , Rnx.}.
显然对任意 E Draxm,有
E 二E ,+ EZ, ()
其中E,= (+ SnE)/2Ez= (E 一SnE/