文档介绍：“αTβ”或“α·β”则a1b1+a2b2+…+anbn称α与β的内积。α=(a1,a2,…,an)Tβ=(b1,b2,…,bn),:α=(1,2,3)Tβ=(2,4,6)T性质:(1)α·β=β·α(2)(α+β)·г=α·β+α·г(3)(kα)·β=k(α·β)(4)α·α≥0注意:α·=(a1,a2,…,an)T则称为向量α的长度。性质:(1)‖α‖≥0α=0时等号成立(2)‖kα‖=∣k∣‖α‖(3)∣αTβ|≤‖α‖‖β‖:(1)当α与β线性相关时,有α=kβ或β=kα,显然有∣αTβ|=‖α‖‖β‖(2)当α与β线性无关时,对任一实数x,有:xα+β≠0因此恒有‖xα+β‖>0即有‖xα+β‖2=(xα+β)T(xα+β)=(xαT+βT)(xα+β)=(αTα)x2+(αTβ+βTα)x+βTβ=(αTα)x2+(2αTβ)x+βTβ>△=4(αTβ)2-4(αTα)(βTβ)<0可推出(αTβ)2<(αTα)(βTβ)=‖α‖2‖β‖2所以∣αTβ|≤‖α‖‖β‖证毕此不等式称柯西-布涅可夫斯基不等式,:长度为1的向量称单位向量。例如:α=(1,-2,2)T‖α‖=,β是n维向量,如αTβ=0,则称α与β正交,也称α与β垂直。例如:α=(-1,1,1)T,β=(2,3,-1)T,显然有αTβ=0,则α与β正交。(i)  αi为非零向量(i=1,2,…s)(ii)αiTαj=0(i≠j)则称α1,α2,…αs为正交向量组。特别,αi都为单位向量时,称α1,α2,…:正交向量组一定是线性无关的。证明:设α1,α2,…αs为正交向量组,且k1α1+k2α2+…+ksαs=0用αi与上式两边内积运算得:αiT(k1α1+k2α2+…+ksαs)=0,得k1αiTα1+k2αiTα2+…+kiαiTαi+…+ksαiTαs=(i=1,2,…,s)又αiTαj=0(i≠j)所以有:kiαiTαi=0(i=1,2,…,s)又αi≠0得αiTαi>0因此:ki=0(i=1,2,…s),则α1,α2,…αs线性无关。,α2,…αs满足条件:,可把线性无关向量组α1,α2,…αs化成正交向量组β1,β2,…,βs,此方法称为施密特正交化方法。…………容易验证β2与β1正交,βk与β1,β2,…,βk-1都正交(k=3,4,…,s-1)所以不难得出β1,β2,…,βs为正交向量组。β1=