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2009 年全国初中数学联合竞赛试题及答案
第一试
一、选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分)
a =­71,则 3a32+12aa­6­=12 ( ).
A . 24 +10 +12
△ABC 中,最大角∠A 是最小角∠C 的两倍,且 AB=7,AC=8,则 BC=( ).
A . 72 C. 105
[]x 表示不大于 x 的最大整数,则方程 xx2 ­2[]­=30的解的个数为( ).
A . 1
ABCD 的中心为点 O,在以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有
三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为( ).
3 3 1 4
A . B. C. D.
14 7 2 7
A
,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=2,以 BC 为直径在矩形内作 D
半圆,自点 A 作半圆的切线 AE,则 sin ÐCBE=( ).
6 2 1 10 E
A . B. C. D.
3 3 3 10
B C
n ­1909
n 是大于 1909 的正整数,使得为完全平方数的 n 的个数
2009 ­ n
是( ).
A . 3
二、填空题(本题满分 28 分,每小题 7 分)
是实数,若 ab, 是关于 x 的一元二次方程 x2 ­2xt+­=10的两个非负实根,
则(ab22­­1)(1) 的最小值是.
D 是△ABC 的边 AB 上的一点,作 DE//BC 交 AC 于点 E,作 DF//AC 交 BC 于点
F,已知△ADE、△DBF 的面积分别为 m 和 n ,则四边形 DECF 的面积为.
ab, 满足条件 ab22+=1 , |1­2a++b|21a+=­ba22,则
ab+= .
1515
ab, 是正整数,且满足 2()+ 是整数,则这样的有序数对(ab,)共有
ab
对.
第一试答案
1~6:ACCBDB; 1.-3;2. 2 mn ;3.-1;4.-7
金圣才
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第二试(A)
一.( 本题满分 20 分)已知二次函数 y=x2 +bx+<cc(0) 的图象与 x 轴的交点分别
为 A、B,与 y 轴的交点为 △ABC 的外接圆的圆心为点 P.
(1)证明:⊙P 与 y 轴的另一个交点为定点.
(2)如果 AB 恰好为⊙P 的直径且 S△ABC=2 ,求b 和 c 的值.
证(1)易求得点 C 的坐标为(0,)c ,设 A(x1 ,0) ,B(x2 ,0) ,则 x12+xb=­ ,x12xc= .
设⊙P 与 y 轴的另一个交点为 D,由于 AB、CD 是⊙P 的两条相交弦,它们的交点为点
OA´OB xxc
O,所以 OA×OB=OC×OD,则 OD ==12 ==1.
因为 c < 0 ,所以点 C 在 y 轴的负半轴上,从而点