2009年全国初中数学竞赛试题参考答案.doc

文档介绍：中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
,b 满足,则等于( ).
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
【答】C.
解:由题设知a≥3,所以,题设的等式为,于是,从而=1.
,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于( ).
(第2题)
(A) (B) (C)1 (D)2
【答】A.
解:因为△BOC ∽△ABC,所以,即
,
所以, .
由,解得.
,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次,记第一次掷出的点数为,第二次掷出的点数为,则使关于x,
y的方程组只有正数解的概率为( ).
(A) (B) (C) (D)
【答】D.
解:当时,方程组无解.
当时,方程组的解为
由已知,得即或
由,的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得
共有 5×2=10种情况;或共3种情况.
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为.
,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,. 动点P从点
B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为( ).
(A)10 (B)16 (C)18 (D)32
(第4题)
图2
图1

【答】B.
解:根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故
S△ABC=×8×4=16.
,y的方程的整数解(x,y)的组数为( ).
(A)2组(B)3组(C)4组(D)无穷多组
【答】C.
解:可将原方程视为关于的二次方程,将其变形为
.
由于该方程有整数根,则判别式≥,且是完全平方数.
由≥,
解得≤.于是
0
1
4
9
16
116
109
88
53
4
显然,只有时,是完全平方数,符合要求.
当时,原方程为,此时;
当y=-4时,原方程为,此时.
所以,原方程的整数解为

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km .
【答】3750.
解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km
磨损量为, km,交换位置后走了y ,有

两式相加,得,
则.
,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作