文档介绍：§ 协方差与相关系数对于二维随机向量(X,Y),除了其分量X和Y 的期望与方差之外, 还有一些数字特征, 用以刻画X与Y之间的相关程度,其中最主要的就是下面要讨论的协方差和相关系数。定义1:若E{[ X-E(X)][Y-E(Y)]} 存在,则称其为X 与Y 的协方差,记为Cov(X,Y), 协方差Cov(X, Y) = E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}. (1)(3). Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) ;(1). Cov(X, Y) = Cov(Y, X);协方差性质(2). 设a, b, c, d是常数,则Cov( aX+b, cY+d ) = ac Cov(X, Y) ;(4). Cov(X, Y) =E(XY)-[E(X)][E(Y)] ,(5). Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X, Y) . 当X 和Y 相互独立时,Cov(X, Y)=0;若X1, X2, …, Xn 两两独立,则性质(5)可推广到n个随机变量的情形:.),(2)()(11jininijiiiXXCovXVarXVar?????????.)()(11?????niniiiXVarXVar协方差的大小在一定程度上反映了X 和Y相互间的关系,但它还受X 和Y 本身度量单位的影响。例如:Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y). 为了克服这一缺点,对协方差进行标准化,这就引入了相关系数。相关系数为随机变量X 和Y 的相关系数。定义2:设Var(X) > 0, Var(Y) > 0, 则称)()(),(YVarXVarYXCovXY??在不致引起混淆时,记为。XY??相关系数性质;1||).1(??证:由方差与协方差关系,对任意实数b, 有0≤Var(Y-bX)=b2Var(X)+Var(Y)-2b Cov(X,Y ),,)(),(XVarYXCovb?令则有Var(Y-bX) =)()],([)(2XVarYXCovYVar?????????)()()],([1)(2YVarXVarYXCovYVar],1)[(2???YVar由方差Var(Y)>0, 知1-ρ2≥ 0, 所以| ρ|≤1。由于当X 和Y 独立时,Cov(X, Y)= 0 .请看下例:(2). X 和Y 独立时, ρ=0,但其逆不真;但ρ=0 并不一定能推出X和Y独立。0)()(),(;??YVarXVarYXCov?所以,证明:例1:设(X,Y) 服从单位D={ (x, y): x2+y2≤1}上的均匀分布,证明:?XY= 0。??????.),(,0,),(,/1),(DyxDyxyxf?,00/)(1**********???????????????????????dydydxxdxdyxXEyyyx??所以,Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 .同样,得E(Y)=0,.00)y/()(1**********???????????????????????dydyxdxydxdyxXYEyyyx??此外,Var(X) > 0, Var(Y) > 0 .所以,?XY = 0,即X 与Y不相关。但是,: X与Y不独立。存在常数a, b(b≠0),使P{ Y = a+bX } = 1 ,即X和Y以概率1线性相关。(3). |ρ|=1