文档介绍：第五章定积分第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法和分部积分法第四节反常积分主讲人:李源第一节定积分的概念与性质三、定积分的性质一、定积分问题举例二、定积分的定义一、定积分问题举例曲边梯形设函数y=f(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线x=a、x=b、Y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 如何计算其面积?abxyoy=f(x)x=bx=a在初等函数里面,我们只会计算规则图形的面积,如长方形,圆形等。如何计算不规则图形的面积,是我们需要解决的问题。1xix1ix-xabyo解决步骤:1)[a , b] 中任意插入n –1 个分点0 1 2 1n na x x x x x b-= < < < < < =?],[1iiixx???用直线ix x=将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2),)(if?为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iAD得1( ) ( )i i i i i iA f x x x xx-D ? D D = -, 1, 2, , )i n=?i?],[1iixx?3) A-== D?1( )ni iif xx=? D?4) { },ii nxl#= D则曲边梯形面积01limniiA Al?== D?01( )limni iif xlx?== D?xabyo1xix1?ixi?ix1?ix1xi?2x元素法元素法1 化整为零2 以直代曲(以常代变)iiixfS???)(?3 积零为整yxoy=f (x)1?nx????niiixfS1)(?ab..分法越细, (?i).ix1?ixi?元素法元素法4 取极限yxoy=f (x)...分法越细,越接近精确值1 化整为零2 以直代曲(以常代变)3 积零为整????niiixfS1)(?iiixfS???)(?f (?i)?ixi?元素法元素法4 取极限yxoy=f (x)令分法无限变细....分法越细,越接近精确值1 化整为零2 以直代曲(以常代变)3 积零为整????niiixfS1)(?iiixfS???)(?f (?i)01lim ( )ni iif xlx?=D?S=.=v(t)是时间t 的连续函数, 且v(t)>0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S.(1)分割: T1=t0<t1<t2< ***<tn-1<tn=T2, ?ti?ti?ti+1; (2)近似: 物体在时间段[ti?1, ti]内所经过的路程近似为Si?v(?i)?ti( ti?1<?i<ti ); 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为(3)求和: (4)取极限: 记??max{?t1, ?t2,???, ?tn}, 物体所经过的路程为????niiitvS1)(???????niiitvS10)(lim???01lim ( )ni iis v tlx?== D?上述两个问题的共性:?解决问题的方法步骤相同:“分割, 近似, 求和, 取极限”?所求量极限结构式相同: ( )ni iiS x flx?== D?许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题,将其一般化,就得到定积分的概念.