文档介绍：c•1r+才2jr+心jr+g"1(TLl1jlO1-■i0.-1b!<f)下矩阵表示为〃阶00•••0O'10•••0001•••00■a••■■•■■■•00•••00•001Oj例1・6试证:在疋"中矩阵a】=•1r、6=Jr心=J1?ucr4=J°1«-・-■11J[abl x线性无关•并求。= ^」解;设居6十嘉幺2+虽03十虽6=04r「1r•1r"10"+k,\+h]+「•・-1b丸+妇+饥+人处+”2+上3*|=°Jd+厶+虹处+处十人」于是k{+kz+b、+久=0,仏+範+“3=0《I+“3+化=OM1+最+“4=0解之得k[—k2=kz= =0吉攵di心3线性无关•'Xi+才?+4+及丁|+工2+厶]•厂+七+艾厂+心+艾」于是x}+工2+彳3+才4=a•工|+丁2+才3=6二+才3+耳=C刀+心+玄4=d解之得冲=b+c+d—2a♦比=a—cx3=d—c/,t4—a—6J*l山29心,及即为所求之坐标・例1・14设M是谧黠空刖的-个黠变换■对某个花y有夕《)ho,#(f)=o点込e山(F),肿(F)••・・,"•《黴性无关・证职设•e+/,x(e)+)+・•・+心肿5(?)=0@用"I从左蘇①式两粗由肿(F)丸可猖"《)=0因为,¥)利•刑U=o,代人①式可得3(F)+3*)+••・+厶-]#-《)=0②用"I从左縣②郎站由次)=0可得/冃,齡下去,可得侶•〜心丸于是f,“(徐0使)严,"*)“继线性空间中线性变换、*使得对于V中的任何向屋&祁有l(eH0)・&・(E)H0,求&在某一基下的矩阵表示・解:由例1・14可知・”个向蜃EA0・u/(E)、"2(E).・・・•线性无关,,&岸),&《),・・・,、/-«)]=〉・3?(£)♦・・・,、*"(£)]=[=(£)^2<e)•…),o]「00•••0()•10•••0001•“00•■•■■•■■•■■00•••00l00•••:n维线性空间V中任何一组川个线性无关的向量组都可以构成v的一个基,因此emg),"(§)•・・・•&‘・《)〃是线性空间R3[:的线性变换,它在用中基下的矩阵表示是*123_A=—103■.215.(1) 求"在基/3)=5,艮二6+8£=5亠6+6下的矩阵表示・(2) 求」/在基6,a?,:(1)由题意知11r[0i,A,A]=[厲心心]0 1 ,良,A下的矩阵表示是少则(2)由于|川萨0,故AX=O只有零解•所以■"的核是零空间•-:(1)由题意知•一1 ](T〔a”a’,a3]=[吕疋2疋訂1 0】.1 -11J•."[a:‘a?.aj]=[a】.a?.a》—][£|,£2,勺]=・6心2心3] 1•1I(T01一11-其中■-11・・r=一6心?・0\]01-i・]01.=>>a3]/>■-11-rP= 01_1・•设B是线性变换•”在基e}a2a3下的矩阵表示•即于是110"B-PXAP=2 2 」(2)由于方程组4X-0的基础解系是[1,一1,&的核子空间Ng=span{ff|—ar,+«,}—span{[—2・2・3]和•"的值域/?(A)=span{・"(a])."(a?),・a(aj}=span{cTj+a?—cc3.(x24-2a.“一a〕十3ct3)=span{[0,0,一=span{[0»0tlJTt[lt2t0]T}1-16-设人是矩阵A的任一特征值•其对应的持征向量为or■即冇4cr=Aa,那么有Aa=A:=£»于是口J得(F—])or=O,注意到a^O,从而有卩=1,因此A的特征值只可能是+1或者一1・I一】7・-:设可逆矩阵A的待征值为入,对应的特征向就为G则Aa=]Aa=Al(Aa),即Ear=M】g因此4la=+,^Etk为正整数〉.证明M与对角【:只要证明A的每一个Jordan块都是一阶的•那么与对角矩阵相似•设A的Jordan标准形为J=/■Aa■J,J,=414 1■■•・・1L C」・ 7」那么存在相似变换矩阵P使得PlAP==p-}Akp=e于是有故/必为一阶子块,即s=m所以&—6证明:设的Jordan标准形为4 1人 aJ= . »/.=且存在可逆矩阵P使°」-A,所以J2=(P^APF=PlA2P=J=PXA