文档介绍：第三章矩阵分析在此Z前我们只研究了矩阵的代数运算,但在数学的许多分支和丁•程实际屮,特别是涉及到多元分析时,,然后介绍矩阵函数和它的计算,最后介绍矩阵的微积分,.§・1设有中的矩阵序列{卅)},其屮屮)=(硝)计•若Jim硝)=a..(i=1,2,…,加;丿=1,2,…,n),则称矩阵序列{A(k)}收敛于A=(勺),”“,或称/为矩阵序列{护}的极限,记为limA(k}=/或TA(kT+oo),C",•与向量序列一样,可以利用矩阵范数来研究矩阵序列的极限•定理3・1设泸,/丘(2酬”伙=0丄2,・・・)・则limA(k)=A的充分必要条件是limyk)-A=0,其中是C'”x"+xfl±矩阵的G・<y/mnmax硝)-旬=||/1(A)一A所以limA(k}=A的充分必要条件是lim^k}-A斤一》+ocII G=,对上任一矩阵范数,存在正常数弘几使得a|八_列.<|卅)—力|<0|泸_A故limA(k}-AG=0的充分必要条件是lim^->+OC证毕推论设护,化严仇=0丄2,•…)limA(k}=)=\A其屮IIII是cwx,/±(k}-p||<A(k)-,+\2不收敛•但lim收敛的矩阵序列的性质,・2设limA(k}=A,limB{k}=B,其中屮),砂),B为适当阶的矩阵,a,0WC・贝I」lim(必⑹+0B⑹)=必+0B;k->+OOlimA(k]B(k}=AB;上T+oo当/⑷与/均可逆时,hm(A(k)yl=A~'.证取矩阵范数,有(aA(k}+/3B(ky)-(aA+/3B^<|a|pw-j||+|/7||5u)-5|卜蚀伙)_吗=y(k)B(k}-A(k)B+A(k}B-AB\制护||卜⑷—列+||泸一绷0||rh定理3」和推论知⑴和⑵(/")尸,存在,所以limdct/">=det/hO,又有limadjy4(A)=adU・于是lim(/⑹尸=lim业;=邑直=A'(3)中条件A(k)与/都可逆是不可少的,因为即使所有的A(k}可逆也不能保证A1+—=k(11丿(k-k对每一个力⑷都有逆矩阵(A(k}尸= ,但屮k+\)limA(k}=A:->+oo I]1),・2设A€Cwxw,若lim卅)=0,则称/为收敛矩阵.£->+,则/为收敛矩阵的充分必要条件是P(A)<\・,则由谱半径的性质,有(p(A))k=p(Ak)<y^其中||||是C®上任一矩阵范数,即有lim(p(A))k=0,故q⑷<⑷<1,则存在正数£,使得Q⑷+£<,存在C""上的矩阵范数||il,使得||桃“(/)+£vi从而由得曲|现=0・故limAk=""上的某一矩阵范数||||有p||<l,则/・1判断下列矩阵是否为收敛矩阵:解⑴可求得A的特征值为人=丄,易6于是p(A)=-<l,故/是收敛矩阵;、(1-8、: (2)A=-21)\/(1)^=7O(2)因为ph=<1,所以/是收敛矩阵.§・3由C'"x"屮的矩阵序列{力⑹}构成的无穷和A(0)+/⑴+…+A(k}+…称为矩严 N阵级数,记为工//⑷・对任一正整数N,称S(N)="0 ^=0+8分和构成的矩阵序列{s(v)}收敛,且有极限S,即HmS")=S,则称矩阵级数工A(k}收k=0敛,而且有和S,记为s=XA(k)=Q如果记“,S=(5,)zmxm,显然S二工相当于R=0工矿=sij (心1,2,…,“;丿=1,2,…,刃)k=(k+1)伙+2)丿兀伙=0丄…)研究矩阵级数工/⑷)二k=00N2"F7130\所以/4- .I牡丿1———N+2)Ny幺伙+1)伙+2)丿1“S二limS的;V-^+<30