文档介绍：第二章有限域结构*有限域的特征特征的含义无零因子含幺环的特征:0或者素数素域:Q和Z/(p)={0,1,…,p1}定理设F是域,=p,则PZ/(p).若charF=0,则P?*有限域的元素个数特征为p的有限域F都是Fp上的有限(维数)扩张。|F|=pn,n=[F:Fp].任意给定素数p和正整数n,是否一定存在pn元有限域?如何构造有限域?*有限域的存在性与唯一性存在性定理对每个素数p和每个整数n,=pn,F是xq={aF|aqa=0}S=F.*唯一性定理设F是q=pn元有限域,则F是同构于xq*CharacterizationofFiniteFields子域的存在唯一性定理设q=pn,若E是Fq的子域,则|E|=pm,其中m是n的正因子;反之,若m是n的正因子,则Fq有唯一的pm元子域。例:F230的全体子域*设f(x)是Fp上的n次不可约多项式Fp[x]中的同余关系a(x)b(x)modf(x)f(x)|a(x)b(x)overFp任意给定的g(x)Fp[x]与Fp[x]中某个次数小于n的多项式(包括0)同余g(x)=f(x)q(x)+r(x),r(x)=0或deg(r(x))<ng(x)r(x)modf(x)Fp[x]模f(x)的全体两两不同余的代表元为{r(x)Fp[x]|r(x)=0或deg(r(x))<n}*pn设f(x)是Fp上的n次不可约多项式F={r(x)Fp[x]|r(x)=0或deg(r(x))<n}多项式的加:g(x)+h(x)模f(x)的乘法:g(x)h(x)(modf(x))是否域?F关于加法构成群F\{0}关于乘法构成群F是pn元有限域*Fp[x]/(f(x))F16元有限域F24f(x)=x4+x+1是F2上的不可约多项式F=({0,1,x,x+1,x2,x2+1,x2+x,x2+x+1,x3,x3+1,x3+x,x3+x+1,x3+x2,x3+x2+1,x3+x2+x,x3+x2+1},+,modf(x))F2[x]/(x4+x+1)F*(x2+x)+(x3+x+1)=x3+x2+1(x2+x)(x3+x+1)=x3+x2+x+116元有限域F24f(x)=x4+x+1是F2上的不可约多项式g(x)=x4+x3+1是F2上的不可约多项式F2[x]/(f(x))F2[x]/(g(x))能否给出同构映射?(作业)*