文档介绍：第二章有限域结构1?有限域的特征–特征的含义–无零因子含幺环的特征:0或者素数–素域:Q和Z/(p)={0,1,…,p?1}–定理设F是域,P是F的素域.?若charF=p,则P?Z/(p).?若charF=0,则P?Q.–有限域的特征是素数–无限域的特征一定是0吗?2?有限域的元素个数?特征为p的有限域F都是Fp上的有限(维数)扩张。–|F|=pn,n=[F:Fp].?任意给定素数p和正整数n,是否一定存在pn元有限域??如何构造有限域?3?有限域的存在性与唯一性?存在性–定理对每个素数p和每个整数n,?q=pn,F是xq?x在Fp上的分裂域.?S={a?F|aq?a=0}?S=?唯一性–定理设F是q=pn元有限域,则F是同构于xq?x在Fp上的分裂域.–q元有限域记为Fq5CharacterizationofFiniteFields?子域的存在唯一性–定理设q=pn,若E是Fq的子域,则|E|=pm,其中m是n的正因子;反之,若m是n的正因子,则Fq有唯一的pm元子域。–例:F230的全体子域6?设f(x)是Fp上的n次不可约多项式?Fp[x]中的同余关系–a(x)?b(x)modf(x)?f(x)|a(x)?b(x)overFp?任意给定的g(x)?Fp[x]与Fp[x]中某个次数小于n的多项式(包括0)同余–g(x)=f(x)q(x)+r(x),r(x)=0或deg(r(x))<n–g(x)?r(x)modf(x)?Fp[x]模f(x)的全体两两不同余的代表元为{r(x)?Fp[x]|r(x)=0或deg(r(x))<n}7pn?设f(x)是Fp上的n次不可约多项式?F={r(x)?Fp[x]|r(x)=0或deg(r(x))<n}?多项式的加:g(x)+h(x)?模f(x)的乘法:g(x)h(x)(modf(x))?是否域?–F关于加法构成群–F\{0}关于乘法构成群–F是pn元有限域8Fp[x]/(f(x))?F?16元有限域F24?f(x)=x4+x+1是F2上的不可约多项式F=({0,1,x,x+1,x2,x2+1,x2+x,x2+x+1,x3,x3+1,x3+x,x3+x+1,x3+x2,x3+x2+1,x3+x2+x,x3+x2+1},+,?modf(x))?F2[x]/(x4+x+1)?F9(x2+x)+(x3+x+1)=x3+x2+1(x2+x)?(x3+x+1)=x3+x2+x+1?16元有限域F24?f(x)=x4+x+1是F2上的不可约多项式?g(x)=x4+x3+1是F2上的不可约多项式?F2[x]/(f(x))?F2[x]/(g(x))?能否给出同构映射?(作业)10