文档介绍：有限域的特征
特征的含义
无零因子含幺环的特征: 0 或者素数
素域： Q 和 Z/(p) = {0,1,…, p 1}
定理设F 是域, P 是 F 的素域.
若char F = p, 则 P  Z/(p).
若char F =约多项式
F = {r(x)Fp[x] | r(x) = 0 或deg(r(x)) < n }
多项式的加 : g(x) + h(x)
模 f(x)的乘法: g(x)h(x) (mod f(x))
是否域？
F关于加法构成群
F\{0}关于乘法构成群
F是 pn元有限域
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Fp[x]/(f(x))  F
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16元有限域F24
f(x) = x4 + x +1是F2上的不可约多项式
F = ({0, 1, x, x+1, x2 , x2 +1, x2 +x , x2 + x +1 , x3 , x3+1 ,
x3 +x , x3 + x +1 , x3+ x2 , x3 + x2 +1 , x3 +x2 +x ,
x3 + x2 +1}, +, mod f(x) )
F2[x]/(x4 + x +1)  F
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(x2 + x) + (x3 +x +1) = x3 +x2 +1
(x2 + x)  (x3 +x +1) = x3 +x2 +x+1
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16元有限域F24
f(x) = x4 + x +1是F2上的不可约多项式
g(x) = x4 + x3 +1是F2上的不可约多项式
F2[x]/(f(x))  F2[x]/(g(x))
能否给出同构映射？（作业）
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Fp上n次不可约多项式的存在性
定理记有限域Fq的全体非零元Fq* ，则Fq*关于乘法运算是循环群.
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Fp上n次不可约多项式的存在性
定理记有限域Fq的全体非零元Fq* ，则Fq*关于乘法运算是循环群.
证明

ord(12n) = q 1
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本原元（ primitive element ）
乘法群Fq*的生成元称为Fq中的本原元。
Fq中有(q1)个本原元
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Fp上n次不可约多项式的存在性
定理设有限域Fr是Fq的扩域，则Fr是Fq上的单代数扩张。
推论存在Fp上的n次不可约多项式。
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不可约多项式的根
元素 Fqn在Fq上的极小多项式 : 首一, 不可约
设 f(x)是Fq上的n次不可约多项式， 是 f(x)在Fq扩域上的根 (问: 是否有重根?)
f(x)的全体根 , q, q2,…, qn1
Fq()是qn元有限域, Fq()  Fqn 是 f(x)的分裂域
Fq上的n次不可约多项式的分裂域同构 Fqn
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共轭元
设Fqm是Fq的扩张, Fqm, 则, q, q2,…, qm1称为关于Fq的共轭元。
注：设Fqm, 则关于Fq的共轭元两两不同当且仅当在Fq上的极小多项式次数等于m。
注：若d 是m的因子, 关于Fq共轭元的不同元素为, q, q2,…, qd1 , 每个元素重复m/d 次.
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共轭元
定理设Fqm是Fq的扩张, Fqm, 则关于Fq的共轭元在乘法群Fq*中有相同的阶。
推论若Fqm是Fqm中的本原元，则关于Fq的共轭元都是Fqm中的本原元。
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Fqm的Fq-自同构
若是Fqm的自同构并且对于aFq 有(a) = a, 则称是Fqm的Fq-自同构。
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Fqm的Fq-自同构
定理 Fqm的全体不同的Fq-自同构为0, 1,…, m1, 其j() = qj , Fqm , 0 j  m1.
证明
验证j 是Fqm的Fq-自同构
说明0, 1,…, m1两两不同
若是Fqm的Fq-自同构，则{0, 1,…, m1}
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Fqm的Fq-自同构
定理 Fqm的全体不同的Fq-自同构为0,