文档介绍：§2方差、协方差与相关系数 一、方差二、协方差三、相关系数四、矩 一、方差例1                     比较甲乙两人的射击技术,已知两人每次击中环数分布为 : :.问哪一个技术较好?首先看两人平均击中环数,此时,,***本上稳定在8环左右,而乙却一会儿击中10环,一会儿击中6环,:对一随机变量,除考虑它的平均取值外,-为随机变量对于均值的离差(deviation),,考虑用,但由于==0对一切随机变量均成立,即的离差正负相消,,,为有限值,就称它是随机变量的方差(variance),记作Var, Var= (1)但Var的量纲与不同,为了统一量纲,有时用,称为的标准差(standarddeviation).方差是随机变量函数的数学期望,由§1的(5)式,即可写出方差的计算公式 Var==(2)进一步,注意到==即有 Var=. (3)许多情况,用(3)(续)(3)式==×+×+×=, Var==--=,Var==-64=>Var,(λ)[a,b]上的均匀分布U[a,b],, ,(2),由于,Var .可见正态分布中参数就是它的方差,(Chebyshev)不等式若随机变量的方差存在,则对任意给定的正数ε,恒有. (4)证设的分布函数为,则==/.这就得(4),该式断言落在与内的概率小于等于/,或者说,落在区间内的概率大于1-/,,取ε=3,则≈(当~时,在第二章曾经指出,P(|ξ-|3)=P(|ξ-|3σ)≈).性质1=0的充要条件是P(ξ=c)=1,,如果=0,记=c,由切贝雪夫不等式, P(|ξ-|ε)=,b都是常数,则 Var(+b)=. (5)证Var(+b)=E(+b-E(+b)=E(+b-c-b ==.性质3若,=E-,而E(ξ-c=E-2c+,=+2(6)特别若两两独立,则=. (7)证Var(=E(-E(=E =E =+2,得证(6),对任何有,故E=E(=E=0,这就得证(7),(n,p),§1例12构造,,它们相互独立同分布,此时 Var=,由性质4 .例6         设随机变量相互独立同分布,,Var=,().记=,求,.解由§1性质2和本节性质2和4有 ,.这说明在独立同分布时,作为各的算术平均,它的数学期望与各的数学期望相同,但方差只有的1/,.令,,. 二、,除去各分量的期望和方差外,还有表示各分量间相互关系的数字特征——,就称(8)为的协方差(covariance),记作Cov().显然,.公式(6)可改写为 Var()+2. 容易验证,协方差有如下性质:性质1Cov()=Cov(). 性质2设是常数,则. 性质3. 对于n维随机向量ξ=,可写出它的协方差阵, (9),且对任何实数,,二次型,=, C=,则的协方差阵为,,所以的第元素就是的第i元素与第j元素的协方差. 三、相关系数协方差虽在某种意义上表示了两个随机变量间的关系,但的取值大小与ξ,,用ξ,的标准化随机变量(见例7)(10)为ξ,的相关系数(correlationcoefficient).为了讨论相关系数的意义,—许瓦茨(Cauchy—