文档介绍：无限长弦一般强迫振动定解问题解三维空间自由振动波动方程定解问题在球坐标变换(r=at)无界三维空间自由振动泊松公式二维空间自由振动波动方程定解问题傅立叶变换基本性质若则拉普拉斯变换基本性质三个格林公式高斯公式:设空间区域V是由分片光滑闭曲面S所围成,函数P,Q,R在V上具有一阶连续偏导数,则:或第一格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV上有一阶连续偏导数,它们在V中有二阶偏导,则:第二格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV上有一阶连续偏导数,它们在V中有二阶偏导,则:第三格林公式设M0,M是V中点,v(M)=1/rMM0,u(x,y,z)满足第一格林公式条件,则有:定理1:泊松方程洛平问题解为:推论1:拉氏方程洛平问题解为:调与函数1、定义:如果函数u(x,y,z)满足:(1)在具有二阶连续偏导数;(2)称u为V上调与函数。2、调与函数性质。性质1设u(x,y,z)是区域V上调与函数,则有推论2:拉氏牛曼问题(牛曼问题解不稳定没有得到公式解)有解充分必要条件是:性质2设u(x,y,z)是区域V上调与函数,则有:性质3:设u(x,y,z)是区域V上调与函数,则在球心值等于它在球面上算术平均值,即:其中SR是以M0为球心,R为半径球面三维空间中狄氏问题格林函数泊松方程狄氏问题为:其中:如果G(M,M0)满足:则可得泊松方程狄氏解定理定理:泊松方程狄氏解为:其中G(M,M0)满足:推论:拉氏方程狄氏解为:平面中三个格林公式首先证明一个定理:设闭区域D由分段光滑曲线L围成,且f(x,y)在D上有二阶连续偏导数,n为曲线外法线方向,则:(1)第一格林公式设闭区域D由分段光滑曲线L围成,且u(x,y),v(x,y)在D上有二阶连续偏导数,n为曲线外法线方向,则:(2)第二格林公式(3)第三格林公式设闭区域D由分段光滑曲线L围成,且u(x,y)在D上有二阶连续偏导数,n为曲线外法线方向,令:定理:平面泊松方程洛平问题解为:推论:平面拉氏方程洛平问题解为:定理:平面泊松方程狄氏问题解为:推论:平面拉氏方程狄氏解为::其中:球域内狄式问题解其中:球域上狄氏问题解球坐标表达式所以::上半空间拉氏方程狄氏问题解为:。三维空间泊松方程基本解平面泊松方程基本解为::解,称为定解问题基本解。基本解为::定解与基本解关系为:贝塞尔函数》》正、负n阶第一类贝塞尔函数第二类Bessel函数Bessel函数母函数当x为实数时可得Bessel函数积分表达式当n为整数时:贝塞尔函数递推公式n阶整数阶贝塞尔函数有:贝塞尔函数正交性贝塞尔函数系定义:定积分:称为贝塞尔函数模。2、贝塞尔级数展开定理定理:设在区间[0,R]上至多有有限个跳跃间断点,则f(x)在(0,R)连续点处贝塞尔级数收敛与该点函数值,在间断点处收敛于该点左右极限平均值其中勒让德方程考虑球域内拉氏方程定解问题在球坐标系下勒让德方程令,取m=0时得勒让德多项式当n为正偶数时当n为正奇数时n次第一类勒让德多项式勒让德多项式罗得利克公式