中南大学线性代数试卷.doc

文档介绍：考试试卷1闭卷考试时间:100分钟一、填空题(本题15分,每小题3分)1、设为四阶方阵,其中为的第个列向量,令,则。2、设为三阶方阵,为的伴随矩阵,且,则。3、设,且,则。4、若阶方阵有特征值,则必有特征值。5、若二次型经正交变换化为,则。二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设是阶方阵,则的必要条件是()。(A)中两行(列)元素对应成比例; (B)中有一行元素全为零; (C)任一行元素为其余行的线性组合; (D)必有一行元素为其余行的线性组合。2、设是阶对称阵,是阶反对称阵,则下列矩阵中反对称矩阵是( )(A);(B);(C);(D)。3、设向量组当()时,向量组线性相关。(A)5 (B)4 (C)3 (D)24、设为矩阵,是非齐次线性方程组的3个线性无关的解向量,为任意常数,则非齐次线性方程组的通解为()。(A);(B);(C);(D)。5、设方阵是正定矩阵,则必有()。(A);(B);(C);(D)。三、(本题8分)计算行列式,其中。四、(本题12分)设,且,求矩阵及,其中为的伴随矩阵,为单位矩阵。五、(本题14分)设向量组不能由向量组线性表示。(1)求向量组的一个极大无关组;(2)求的值;(3)将向量用线性表示。六、(本题14分)设齐次线性方程组(Ⅰ)为,已知齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为。(1)求方程组(Ⅰ)的基础解系;(2)问方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有非零公共解,若没有,则说明理由。七、(本题14分)设矩阵,(1)已知的一个特征值为求;(2)求方阵,使为对角阵。八、(本题8分)试证明:阶矩阵的最大特征值为,其中。参考答案一、填空题(本题15分,每题3分)1、0;2、;3、4;4、;5、1。二、选择题(本题15分,每题3分)1、D;2、B;3、A;4、C;5、、(本题8分)解:从第一行开始,每行乘后逐次往下一行加,再按最后一行展开得:原式=。四、(本题12分)解:由,得:,可逆,故;由于,。五、(本题14分)解:(1)令,,则线性无关,故是向量组的一个极大无关组;(2)由于4个3维向量线性相关,若线性无关,则可由线性表示,与题设矛盾;于是线性相关,从而。(3)令,。六、(本题14分)解:(1),所以方程组(Ⅰ)的基础解系为:;(2)设,即,故上述方程组的解为,于是方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)所有非零公共解为:。七、(本题14分)解:(1),将代人上式,得;(2)由(1)得,显然为实对称阵,而令,显然也是实对称阵,是单位阵,由,得的特征值,属于对应的特征向量为,单位化:,属于对应的特征向量为,单位化:,取,则有。八、(本题8分)证明:由得的特征值,,故的最大特征值是。考试试卷2闭卷考试时间:100分钟一、填空题(本题15分,每小题3分)1、若n阶行列式零元素的个数超过n(n-1)个,则行列式为。2、若A为4阶矩阵,且=,则=。3、设A=,且R(A)=3,则k=。4、已知向量,=(1,2,3),=(1,,),设A=,则A=。5、设A为n阶方阵,为A的伴随矩阵,E为n阶单位阵,若A有特征值必有特征值。二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设A,B,C为n阶方阵,E为n阶单位阵,且ABC=E,则下列各式中()不成立。(A)CAB=E(B)(C)BCA=E(D)2、设A,B均为n阶非零矩阵,且AB=O,则它们的秩满足()。(A)必有一个等于零(B)都小于n(C)一个小于n,一个等于n(D)都等于n3、下列命题中正确的是()(A)在线性相关的向量组中,去掉若干个向量后所得向量组仍然线性相关(B)在线性无关的向量组中,去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关(C)任何n+k个n维向量(k)必然线性相关(D)若只有全为零时,等式才成立,且线性无关,则线性无关4、设,则=()时,有为的基(A)(B)(C)(D)5、设二次型的矩阵为,且此二次型的正惯性指数为3,则()(A)k>8(B)k>7(C)k>6(D)k>5三、(10分)计算n阶行列式,并求该行列式展开后的正项总数。四、(10分)设=,且,求矩阵,其中的伴随矩阵,为单位矩阵。五、(本题14分)设有向量组,,,,(1)求该向量组的秩;(2)求该向量组的一个最大无关组,并把其余向量分别用求得的最大无关组线性表出。六、(本题14分)设向量,(1)求3阶方阵的特征值与特征向量;(2)求一正交矩阵为对角矩阵。七、(本题14分)设矩阵,(1)问;(2)当A是正交矩阵时,求方程组的解。八、(本题8分)证明:线性无关的充要条件是其中。参考答案填空:(每小题3分,共计15分)1、0;2、;3、-3;4、;5、。二、选择:(每小题3分,共计15分)1、D2、B3、C4、D5、A三、(本题10分)(练习册P117)解:,设展开式中正、负项总数分别为则,,于是正项总数为。四、