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考试试卷1
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、设为四阶方阵，其中为的第个列向量,
令，则。
2、设为三阶方阵，为的伴随矩阵，且，则。
3、设，且，则。
4、若阶方阵有特征值，则必有
特征值。
5、若二次型经正交变换化为，
则。
二、选择题（本题15分，每题3分）
1、设是阶方阵，则的必要条件是（）。
（A）中两行（列）元素对应成比例；（B）中有一行元素全为零；（C）任一行元素为其余行的线性组合；（D）必有一行元素为其余行的线性组合。
2、设是阶对称阵，是阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（）
（A）；（B）；（C）；（D）。
3、设向量组当（）时，向量组线性相关。
（A）5 （B）4 （C）3 （D）2
4、设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解向量，为任意常数，则非齐次线性方程组的通解为（）。
（A）；（B）；
（C）；（D）
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。
5、设方阵是正定矩阵，则必有（）。
（A）；（B）；（C）；（D）。
三、（本题8分）计算行列式
，其中。
四、（本题12分）设，且，求矩阵及，
其中为的伴随矩阵，为单位矩阵。
五、（本题14分）设向量组不能由向量组
线性表示。（1）求向量组的一个极大无关组；（2）求的值；（3）将向量用线性表示。
六、（本题14分）设齐次线性方程组（Ⅰ）为，已知齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为。（1）求方程组（Ⅰ）的基础解系；（2）问方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有非零公共解，若没有，则说明理由。
七、（本题14分）设矩阵，
（1）已知的一个特征值为求；（2）求方阵，使为对角阵。
八、（本题8分）试证明：
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阶矩阵的最大特征值为，其中。
参考答案
一、填空题（本题15分，每题3分） 1、0； 2、； 3、4； 4、； 5、1。
二、选择题（本题15分，每题3分） 1、D； 2、B； 3、A； 4、C； 5、B.
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式=。
四、（本题12分）解：由，得：，
可逆，故；
由于，。
五、（本题14分）解：（1）令，，
则线性无关，故是向量组的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量线性相关，
若线性无关，则可由线性表示，与题设矛盾；
于是线性相关，从而。
（3）令，。
六、（本题14分）解：（1），所以方程组（Ⅰ）的基础解系为：
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；
（2）设，即
故上述方程组的解为，于是方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）所有非零公共解为：
七、（本题14分）解：（1）
将代人上式，得；
（2）由（1）得，显然为实对称阵，而
令，显然也是实对称阵，是单位阵，
由，得的特征值，
属于对应的特征向量为，单位化：，
属于对应的特征向量为，单位化：，
取，则有。
八、（本题8分）证明：由
得的特征值，
故的最大特征值是。
考试试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
2、若A为4阶矩阵，且=，则= 。
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3、设A=，且R（A）=3，则k= 。
4、已知向量,=（1,2,3），=（1，，），设A=，则A= 。
5、设A为n阶方阵，为A的伴随矩阵，E为n阶单位阵，若A有特征值必有特征值。
二、选择题（本题15分，每题3分）
1、设A，B,C为n阶方阵，E为n阶单位阵，且ABC=E，则下列各式中（）不成立。
（A） CAB=