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中南大学线性代数试卷.doc

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中南大学线性代数试卷.doc

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中南大学线性代数试卷.doc

文档介绍

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【精品文档】第 1 页
考试试卷1
闭卷考试时间:100分钟
一、填空题(本题15分,每小题3分)
1、设为四阶方阵,其中为的第个列向量,
令,则 。
2、设为三阶方阵,为的伴随矩阵,且,则 。
3、设,且,则 。
4、若阶方阵有特征值,则必有
特征值 。
5、若二次型经正交变换化为,
则 。
二、选择题(本题15分,每题3分)
1、设是阶方阵,则的必要条件是( )。
(A)中两行(列)元素对应成比例; (B)中有一行元素全为零; (C)任一行元素为其余行的线性组合; (D)必有一行元素为其余行的线性组合。
2、设是阶对称阵,是阶反对称阵,则下列矩阵中反对称矩阵是( )
(A); (B); (C); (D)。
3、设向量组当( )时,向量组线性相关。
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2
4、设为矩阵,是非齐次线性方程组的3个线性无关的解向量, 为任意常数,则非齐次线性方程组的通解为( )。
(A) ; (B) ;
(C); (D)
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【精品文档】第 2 页

5、设方阵是正定矩阵,则必有( )。
(A); (B); (C); (D)。
三、(本题8分) 计算行列式
,其中。
四、(本题12分) 设,且,求矩阵及,
其中为的伴随矩阵,为单位矩阵。
五、(本题14分) 设向量组不能由向量组
线性表示。 (1)求向量组的一个极大无关组; (2)求的值; (3)将向量用线性表示。
六、(本题14分) 设齐次线性方程组(Ⅰ)为,已知齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为。(1)求方程组(Ⅰ)的基础解系;(2)问方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有非零公共解,若没有,则说明理由。
七、(本题14分) 设矩阵,
(1)已知的一个特征值为 求; (2)求方阵,使为对角阵。
八、(本题8分) 试证明:
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【精品文档】第 4 页
阶矩阵的最大特征值为,其中。
参考答案
一、填空题(本题15分,每题3分) 1、0; 2、; 3、4; 4、; 5、1。
二、选择题(本题15分,每题3分) 1、D; 2、B; 3、A; 4、C; 5、B.
三、(本题8分) 解:从第一行开始,每行乘后逐次往下一行加,再按最后一行展开得:
原式=。
四、(本题12分)解:由,得:,
可逆,故;
由于,。
五、(本题14分) 解:(1) 令,,
则线性无关, 故是向量组的一个极大无关组;
(2)由于4个3维向量 线性相关,
若线性无关,则可由线性表示,与题设矛盾;
于是线性相关,从而。
(3)令,。
六、(本题14分)解:(1) ,所以方程组(Ⅰ)的基础解系为:
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【精品文档】第 4 页

(2)设,即
故上述方程组的解为,于是方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)所有非零公共解为:
七、(本题14分)解:(1)
将代人上式,得;
(2)由(1)得,显然为实对称阵,而
令,显然也是实对称阵,是单位阵,
由,得的特征值,
属于对应的特征向量为,单位化:,
属于对应的特征向量为, 单位化:,
取,则有。
八、(本题8分)证明:由
得的特征值,
故的最大特征值是。
考试试卷2
闭卷考试时间:100分钟
一、填空题(本题15分,每小题3分)
1、若n阶行列式零元素的个数超过n(n-1)个,则行列式为 。
2、若A为4阶矩阵,且=,则= 。
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【精品文档】第 5 页
3、设A=,且R(A)=3,则k= 。
4、已知向量,=(1,2,3),=(1,,),设A=,则A= 。
5、设A为n阶方阵,为A的伴随矩阵,E为n阶单位阵,若A有特征值必有特征值 。
二、选择题(本题15分,每题3分)
1、设A,B,C为n阶方阵,E为n阶单位阵,且ABC=E,则下列各式中( )不成立。
(A) CAB=

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