文档介绍：高等数学不定积分例题思路和答案超全内容概要名称主要内容不定积分不定积分的概念设,,若存在函数,使得对任意均有或,则称为的一个原函数。的全部原函数称为在区间上的不定积分,记为注:(1)若连续,则必可积;(2)若均为的原函数,则。故不定积分的表达式不唯一。性质:或;性质12:或;性质,为非零常数。性质3:计算方法第一换元积分法(凑微分法)原函数为,可导,则有换元公式:设的第二类换元积分法设单调、可导且导数不为零,有原函数,则分部积分法函数积理有分对真分式的处理则先将其变为多项式和真分式的和;若有理函数为假分式,按情况确定。本章的地位与作用实质上是求被积函数的原函数问题;在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题,最终的解决都归结为对定积分的求后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分,不定积分在整个积分学理论中解;而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲,几乎完全取决于对这一章掌握的好起到了根基的作用,积分的问题会不会求解及求解的快慢程度,坏。这一点随着学****的深入,同学们会慢慢体会到!课后****题全解****题4-1::。直接积分法的练****求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路:被积函数,由积分表中的公式(2)可解。解:(2)★思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解:(3)★思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解.(4)★思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解:(5)★★思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。解:(6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。解:注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。解:(8)★思路:分项积分。解:(9)★★思路:?看到,直接积分。解:(10)★★思路:裂项分项积分。解:(11)★解:(12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。解:(13)★★思路:应用三角恒等式“”。解:(14)★★思路:被积函数,积分没困难。解:(15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。解:(16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。解:()17★思路:不难,关键知道“”。:解.()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。解:()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。解:()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。解:、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。解:设曲线方程为,由题意可知:,;又点在曲线上,适合方程,有,所以曲线的方程为、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?(2)物体走完米需要多少时间?知识点:属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析:求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可。解:设物体的位移方程为:,则由速度和位移的关系可得:,又因为物体是由静止开始运动的,。(1)秒后物体离开出发点的距离为:米;令秒。(2****题4-2、。填空是下列等式成立1★.知识点:练****简单的凑微分。思路分析:。根据微分运算凑齐系数即可解:、求下列不定积分。2知识点:(凑微分)第一换元积分法的练****思路分析:审题看看是否需要凑微分。直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍!)(1★思路:凑微分。解:()2★思路:凑微分。解:()3★思路:凑微分。解:()4★思路:凑微分。解:()5★思路:凑微