文档介绍：第三套题答案一、已知1=(1,2,1,0),,%=(-1,1,I』/,^=(2,-1,0,1/,尾=(1,—1,3,7/求span{a},%}与卬必{*,向的和与交的基和维数。解:因为span{ax,a2}^ipan\/3^(i2}=ipan{,/3x,f32}由于秩{%,%,*"}2,且%,%,机是向量组的一个极大线性无关组,所以和空间的维数是3,基为"*设靠span{a},a2}r\span{fi},j32}于是由交空间定义可知s=y+w=耶、+顷此即灯T21+kc11~1]<2、-10—1、J、-13<1><•>0解之得幻=-,,上2=4顷]=-3槌2为任意数)(彳艮显然m/挺)于是^=k}a}+k2a2=Z2[-5,2,3,4]r,所以交空间的维数为L基为[-5,2,3,47'a10-二、证明:Jordan块J(ci)=0a100aa£0相似于矩阵这里£主0为任意实数。0aE00。证明:由于容易求出两个人-矩阵的不变因子均为1』,(人-。)3,01[a£0a£-矩阵等价,于是矩阵1(。)=0。00‘-101、三、求矩阵A=120的〔-403)(l)Jordan标准型;(2)变换矩阵P; (3)计算川00。解(1)Jordan标准型为‘110、•7=01。、002,(2)相似变换矩阵为‘1 0 0、p=-1-11、2 1 0,(3)由于P-'AP=J,因此A”=PJ〃pT,容易计算,-199国°°=2O1-2100-4000 1002100-1O1+21000 2010-1四、验证矩阵人=I0L0。是正规阵,并求酉矩阵",使u%u为对角矩阵。'200、解:v=AhA=01-i,.・.A是正规矩阵,<0/I>/iI—i|AE-A|=-1人0=人(万+2),令体E—A|=0得特征根:-i0A九=0,Z,=V2z,4=-y/2i当W=0时,解得特征向量为:/=((),润",当%=论时,解得特征向量为:%=(应,-i,】V9当%=-yfli时,解得特征向量为:%=(V2,z,-l)r显然%,%,%正交,将它们分别单位化得:吟=(&,/,-%)令五、已知A是Hermit矩阵,且Ak=0(k为自然数),试证:A=0o证明:因为人是处〃血矩阵,所以存在酉矩阵C/使得X0 0、0Z•••0UAUJ-.U,(其中4为A的特征根,且为实数)•♦♦••♦♦•六、验证矩阵A=1420~242为单纯矩阵,并求4的谱分解。0解:因为|4-打—九 2 4—一人2=一九'+3人+2=—(人+1)2(4—2)“0...0、/0...0、a=uh0% 0♦ ♦ ♦ •♦ ♦ ♦ •♦ ♦ ♦ •U;从而部=泌oAj••-o• • • •• • • •. . ■ •1。0…如<00...们<00…如u=o;所以W=A>=…=4〃=0故A=0所以得特征要分别为:久2=-1,4=2当A=-l时,求得线性无关的特征向量分别为叫=(一2,1,0)气%=(—4,0,1)、当4=2时,求得线性无关的特征向量分别为%=(4,2,1)所以一2-44〉1 00 1r12_2、T11163一36121211221112633661£1__2_2_1_I1263><333*=(一拦号气四=(-$,-!,|)「,*1—•于是A的投影矩阵为G]=a":+cx2fll=g2