文档介绍：§5 三重积分
三重积分的典型物理背景是求密度非均匀分布的空间物体的质量. 研究三重积分的方法和步骤与二重积分相似.
一、三重积分的概念
二、化三重积分为累次积分
三、三重积分换元法
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一、三重积分的概念
与二重积分相类似, 通过求一个空间立体 V 的质量
M 就可导出三重积分. 设 V 的密度函数为
在每一小块
上任取一点
则
为了求 V 的质量, 把 V 分割成 n 小块:
其中
为小块 Vi 的体积,
定义在 V
成的曲面网 T 来分割 V,它把 V 分成 n 个小区域:
设
为一可求体积的有界区域,
是
对任给的正数
总存在某正数
使得对于V 的任
何分割 T, 只要
属于 T 的所有积分和都满足
则称
在 V 上可积, 并称数 J 为
在
V 上的三重积分, 记作
定义1 对上述
若有一确定的实数 J,
其中
称为被积函数, x, y, z 称为积分变量,
V 称为积分区域.
当
在几何上表示 V 的体积.
三重积分具有与二重积分相应的可积条件和有关性
质, 这里不再一一细述. 例如:
(1) 有界闭域 V 上的连续函数必三重可积;
(2) 有界闭域 V 上的有界函数
若其间断点
集中在有限个零体积的曲面( 可类似于零面积那样
定义) 上, 则
在 V 上必三重可积.
二、化三重积分为累次积分
1. 积分区域为长方体
若函数
在长方体
上的三重积分存在, 且对任何
二重积分
存在, 其中
则积分
也存在, 且
证用平行于坐标面的平面网 T 作分割, 它把
分成
有限个小长方体
在上的上、下确界.
,
现按下标
相加, 则有
及
上述不等式两边是分割 T 的上和与下和, 由于 f 在
V 上可积, 当
时, 下和与上和具有相同的极
限, 所以由(2) 式得
在
上可积, 且
有时为了计算上的方便, 也可采用其他计算顺序.
2. 积分区域为
型区域
型区域
是指可以用以下方式表示的区域: